Question

在光滑絕緣水平面上固定一個(gè)內(nèi)壁光滑的豎直圓筒S，其俯視圖如圖，圓筒半徑為1m．圓筒軸線與水平面的交點(diǎn)O處用一根不可伸長(zhǎng)的長(zhǎng)0.5m的絕緣細(xì)線系住質(zhì)量為0.2kg，電量為5×10^-5C的帶正電小球．水平方向有一勻強(qiáng)電場(chǎng)E=4×10⁴N/C，方向如圖所示．小球從圖示位置（細(xì)線和電場(chǎng)線平行）以v₀=10m/s垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)小球轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)細(xì)線突然斷裂．求：
（1）細(xì)線斷裂時(shí)小球的速度大��；
（2）若在圓心O處用一根牢固、不可伸長(zhǎng)、長(zhǎng)為0.5m的絕緣細(xì)線系住小球（質(zhì)量和電量均不變），小球從原位置以初速度10m/s垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，為保證小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線始終不松弛，求電場(chǎng)強(qiáng)度E大小的取值范圍；
（3）在（1）的情況下，細(xì)線斷裂后小球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)并與筒壁碰撞，若小球與筒內(nèi)壁碰后不反彈，求小球繼續(xù)沿筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)的最小速度．

Answer 1

（1）從開(kāi)始到轉(zhuǎn)過(guò)90°的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
-qEL=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

解得：
v1=3

10

m/s（或v₁=9.49m/s）
（2）分兩種情況：
①?gòu)膱D示位置轉(zhuǎn)過(guò)90⁰，小球速度減為0，則：
-qE₁L=0-

1

2

m

v

20

解得：
E₁=4×10⁵N/C
②從圖示位置轉(zhuǎn)過(guò)180⁰，繩剛好松弛，則：
-qE2?2r=

1

2

m

v

2min

-

1

2

m

v

20

在速度最小點(diǎn)，電場(chǎng)力恰好提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
qE2=m

v 2min

r

解得：
E₂=1.6×10⁵N/C
所以E≤1.6×10⁵N/C或E≥4×10⁵N/C．
（3）細(xì)線斷裂后，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直到碰到圓筒，設(shè)碰前瞬間速率為v₂，則
-qE?

r2-L2

=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

21

解得v2=

90-10 3

m/s（或v₂=8.53m/s）
小球碰筒壁后，沿圓筒切向速度為：
v₃=v₂sin30°
對(duì)小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
-qE?r（1-cos30°）=

1

2

m

v

24

-

1

2

m

v

23

解得最小速率：
v4=

5+15 3 2

m/s（或v₄=3.94m/s）
答：（1）細(xì)線斷裂時(shí)小球的速度大小為9.49m/s．
（2）為保證小球接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線都不松弛，電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小范圍E≤1.6×10⁵N/C或E≥4×10⁵N/C．
（3）小球碰到圓筒內(nèi)壁后不反彈，沿圓筒內(nèi)壁繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)中的最小速度值為3.94m/s．