Question

在水平地面上方的足夠大的真空室內(nèi)存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)共存的區(qū)域，且電場(chǎng)與磁場(chǎng)的方向始終平行，在距離水平地面的某一高度處，有一個(gè)帶電量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)，以垂直于電場(chǎng)方向的水平初速度v₀進(jìn)入該真空室內(nèi)，取重力加速度為g．求：
（1）若要使帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小及所有可能的方向；
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽時(shí)，為保證帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向應(yīng)滿足的條件；
（3）若帶電質(zhì)點(diǎn)在滿足第（2）問條件下運(yùn)動(dòng)到空中某一位置M點(diǎn)時(shí)立即撤去磁場(chǎng)，此后運(yùn)動(dòng)到空中另一位置N點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，求M、N兩點(diǎn)間的豎直高度H及經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)重力做功的功率．

Answer 1

分析：（1）帶電質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力與重力相平衡，而洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求解．
（2）根據(jù)質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)受力平衡，從而依據(jù)幾何關(guān)系可求出電場(chǎng)強(qiáng)度大小及其方向；
（3）當(dāng)撤去磁場(chǎng)后，帶電質(zhì)點(diǎn)只受電場(chǎng)力和重力作用，在這個(gè)過程中電場(chǎng)力不做功，由機(jī)械能守恒定律可求出M、N兩點(diǎn)間的豎直高度H；由質(zhì)點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)將其速度分解與功率表達(dá)式相結(jié)合，從而確定經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)重力做功的功率．

解答：解：（1）由于帶電質(zhì)點(diǎn)在勻強(qiáng)電場(chǎng)E₀和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₀共存的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
所以受到的電場(chǎng)力必定與重力平衡，
即      qE₀=mg                        
根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式
   qv0B0=m

v 2 0

R

                           
解得     B0=

mv0

qR

            
磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為豎直向上或豎直向下．
（2）磁場(chǎng)B和電場(chǎng)E方向相同時(shí)，如答圖1甲所示；磁場(chǎng)B和電場(chǎng)E方向相反時(shí)，如答圖1乙所示．
由于帶電質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件和幾何關(guān)系可知
(qv0B)2+(qE)2=(mg)2
解得                             E=

(mg)2-(qv0B)2

q

              
圖中的θ角為                  θ=arcsin

qv0B

mg

                      
即電場(chǎng)E的方向?yàn)檠嘏c重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

且斜向下的一切方向，
或θ=arctan

qv0B

qE

=

qv0B

(mg)2-(qv0B)2

，且斜向下方的一切方向．               
（3）當(dāng)撤去磁場(chǎng)后，帶電質(zhì)點(diǎn)只受電場(chǎng)力和重力作用，這兩個(gè)力的合力大小為qv₀B，方向既垂直初速度v₀的方向也垂直電場(chǎng)E的方向．
設(shè)空中M、N兩點(diǎn)間的豎直高度為H，因電場(chǎng)力在這個(gè)過程中不做功，則由機(jī)械能守恒定律得

1

2

m v²=mgH+

1

2

m v₀²                      
解得     H=

v2- v 2 0

2g

                          
因帶電質(zhì)點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由速度的分解可求得帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)時(shí)沿合力方向的分速度大小為                  
  v_N=

v2- v 2 0

                          
又因電場(chǎng)力在這個(gè)過程中不做功，帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)時(shí)，重力做功的功率等于合外力在此時(shí)的瞬時(shí)功率，
解得  P_N=qv₀Bv_N=qv0B

v2- v 2 0

   
答：（1）若要使帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小

mv0

qR

及所有可能的方向?yàn)樨Q直向上或豎直向下；
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽時(shí)，為保證帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小 E=

(mg)2-(qv0B)2

q

       方向應(yīng)滿足的條件為電場(chǎng)E的方向?yàn)檠嘏c重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

且斜向下的一切方向，或θ=arctan

qv0B

qE

=

qv0B

(mg)2-(qv0B)2

，且斜向下方的一切方向．      
（3）若帶電質(zhì)點(diǎn)在滿足第（2）問條件下運(yùn)動(dòng)到空中某一位置M點(diǎn)時(shí)立即撤去磁場(chǎng)，此后運(yùn)動(dòng)到空中另一位置N點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，則M、N兩點(diǎn)間的豎直高度H及經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)重力做功的功率為=qv0B

v2- v 2 0

．

點(diǎn)評(píng)：考查洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理方法，由洛倫茲、電場(chǎng)力與重力相平衡，結(jié)合幾何關(guān)系來綜合求解；同時(shí)還考查機(jī)械能守恒定律，及類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并運(yùn)用功率的表達(dá)式來求解．