Question

（2013?重慶一模）如圖，直線MN上方有平行于紙面且與MN成45°的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小未知；MN下方為方向垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．今從MN上的O點(diǎn)向磁場(chǎng)中射入一個(gè)速度大小為v、方向與MN成45°角的帶正電粒子，該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑為R．若該粒子從O點(diǎn)出發(fā)記為第一次經(jīng)過(guò)直線MN，而第五次經(jīng)過(guò)直線MN時(shí)恰好又通過(guò)O點(diǎn)．不計(jì)粒子的重力．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；
（2）該粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后，運(yùn)動(dòng)軌道的半徑；
（3）該粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間．

Answer 1

分析：首先分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，先是一段半徑為R的

1

4

圓弧到a點(diǎn)，接著恰好逆電場(chǎng)線勻減速運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)速度為零再返回a點(diǎn)速度仍為v，再在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段

3

4

圓弧到c點(diǎn)，之后垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式及幾何關(guān)系即可解題．

解答：解：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，先是一段半徑為R的

1

4

圓弧到a點(diǎn)，接著恰好逆電場(chǎng)線勻減速運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)速度為零再返回a點(diǎn)速度仍為v，再在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段

3

4

圓弧到c點(diǎn)，之后垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)．
（1）易知，

.

oc

=2

2

R
帶電粒子類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的垂直和平行電場(chǎng)方向的位移都為
s⊥=s∥=

.

oc

sin45°=2R  ①
所以類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
  t3=

s⊥

v

=

2R

v

          ②
又   s∥=

1

2

at32=

qE

2m

t32         ③
再者  R=

mv

qB

                  ④
由①②③④可得：E=vB               ⑤
（2）由平拋知識(shí)得：tanβ=2tanα=2          
所以     v_∥=vtanβ=2v         
[或 v∥=

1

2

t3 =

qE

m

2R

v

=

qvB

m

2R

v

=2v]
  v′=

v2+v∥2

=

5

v                    
則第五次過(guò)MN進(jìn)入磁場(chǎng)后的圓弧半徑
  R′=

mv′

qB

=

5

R            
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為 t1=

2πR

v

            ⑥
粒子在電場(chǎng)中的加速度為  a=

qE

m

=

qvB

m

                
粒子做直線運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間為t2=

2v

a

=

2mv

qvB

=

2R

v

        ⑦
由②⑥⑦式求得粒子從出發(fā)到第五次到達(dá)O點(diǎn)所需時(shí)間 t=t1+t2+t3=

2R

v

(2+π)       
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為vB；
（2）該粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后，運(yùn)動(dòng)軌道的半徑為

5

R；
（3）該粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間為

2R

v

(2+π)．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)同學(xué)們對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的分析要求較高，并要熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式，難度較大．