Question

有一種地下鐵道，站臺(tái)的路軌建得比正常路軌高些，車輛進(jìn)站時(shí)上坡，出站時(shí)下坡，如圖．水平站臺(tái)的路軌BC全長(zhǎng)L，比正常路軌高出h，所有進(jìn)出站臺(tái)的機(jī)車進(jìn)站時(shí)到達(dá)坡底A速度均為v₀，關(guān)閉動(dòng)力滑行進(jìn)站，機(jī)車在坡道和站臺(tái)上無(wú)動(dòng)力滑行時(shí)所受路軌的摩擦阻力為正壓力的k倍，忽略機(jī)車長(zhǎng)度，路軌在A、B、C處均為平滑連接．
（1）求機(jī)車關(guān)閉動(dòng)力后沿坡道從A點(diǎn)滑行到B點(diǎn)時(shí)，克服路軌摩擦阻力所做的功與坡道AB的水平距離x之間的關(guān)系；
（2）若機(jī)車在A點(diǎn)關(guān)閉動(dòng)力后滑行，剛好能停在水平站臺(tái)C點(diǎn)，求坡道AB的水平距離x₁；
（3）在不使用制動(dòng)的條件下，為確保安全運(yùn)行，站臺(tái)設(shè)計(jì)時(shí)坡道AB的水平距離x必須控制在什么范圍？

Answer 1

分析：（1）由摩擦力公式求出車輛受到的摩擦力，然后由功是計(jì)算公式求出克服摩擦力所做的功．
（2）應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出坡道的水平距離．
（3）車輛剛好到達(dá)B點(diǎn)時(shí)坡道最長(zhǎng)，由動(dòng)能定理求出坡道的最大值，然后確定坡道的范圍．

解答：解：（1）設(shè)斜面傾角為θ，AB的長(zhǎng)度為s，
機(jī)車在坡道上受到的支持力：F_N=mgcosθ，
受到的阻力：F_f=kF_N=kmgcosθ，
克服摩擦阻力做功：
W_克=F_fs=kmgscosθ=kmgx；
（2）當(dāng)機(jī)車剛好停在C點(diǎn)時(shí)，
由動(dòng)能定理得：0-

1

2

m

v

2 0

=-mgh-kmg(x1+L)，
解得：x1=

v 2 0 -2gh-2kgL

2kg

；
（3）x越大，機(jī)車在坡道上克服阻力做功越多，在站臺(tái)上的停車點(diǎn)越靠近B點(diǎn)．
當(dāng)機(jī)車剛好停在B點(diǎn)時(shí)有x₂，由動(dòng)能定理得：
0-

1

2

m

v

2 0

=-mgh-kmgx2，
解得：x2=

v 2 0 -2gh

2kg

，
所以站臺(tái)坡道AB間的水平距離需滿足：

v 2 0 -2gh-2kgL

2kg

≤x≤

v 2 0 -2gh

2kg

；
答：（1）克服路軌摩擦阻力所做的功與坡道AB的水平距離x之間的關(guān)系為：W_克=kmgx；
（2）坡道AB的水平距離：x1=

v 2 0 -2gh-2kgL

2kg

；
（3）在不使用制動(dòng)的條件下，為確保安全運(yùn)行，站臺(tái)坡道AB的水平距離范圍為

v 2 0 -2gh-2kgL

2kg

≤x≤

v 2 0 -2gh

2kg

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)車輛進(jìn)行受力分析、應(yīng)用功的計(jì)算公式、動(dòng)能定理即可正確解題；求坡道的水平距離長(zhǎng)度時(shí)，先求出其臨界值，再確定其范圍．