Question

一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角
θ=30°，如圖所示，一條長度為l的輕繩，一端的位置固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著著一個(gè)質(zhì)量為m的小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）．物體以速率υ繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)．則：
①當(dāng)υ=

gl 4

時(shí)，繩的拉力大小為多少？
②當(dāng)υ=

3 2 gl

時(shí)，繩的拉力大小為多少？

Answer 1

分析：先求出物體剛要離開錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．
當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答：解：當(dāng)物體剛離開錐面時(shí)，設(shè)其速度為v₀，則根據(jù)牛頓第二定律得：Tcosθ-mg=0，
由拉力與重力的合力提供向心力，則有：mgtanθ=m

v 2 0

lsinθ

解之得：v₀=

3 6 gl

①v=

gl 4

＜v₀，則球會受到斜面的支持力，因此由支持力、重力與拉力的合力提供向心力．
對球受力分析，如圖所示，則有
 T₁sinθ-N₁cosθ=m

v 2

lsinθ

①
 T₁cosθ+N₁sinθ=mg ②
由①②聯(lián)式解之得：T₁=

1+2 3

4

mg；
②v=

3 2 gl

＞v₀，球離開斜面，只由重力與拉力的合力提供向心力，且細(xì)繩與豎直方向夾角已增大．
如圖所示，設(shè)線與豎直方向上的夾角為α，
 T₂sinα=m

v2

lsinα

 ③
 T₂cosα=mg  ④
由③④聯(lián)式解得：T₂=2mg．
答：
①當(dāng)υ=

gl 4

時(shí)，繩的拉力大小為

1+2 3

4

mg．
②當(dāng)υ=

3 2 gl

時(shí)，繩的拉力大小為2mg．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．