Question

如圖所示，在x軸上方有一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E，方向豎直向下．在x軸下方有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里．在x軸上有一點(diǎn)P，離原點(diǎn)的距離為a．現(xiàn)有一帶電量+q的粒子，質(zhì)量為m，從靜止開始釋放，要使粒子能經(jīng)過P點(diǎn)，其初始坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？（重力作用忽略不計(jì)）

Answer 1

分析：要使粒子從靜止開始能經(jīng)過P點(diǎn)，其初始位置必須在勻強(qiáng)電場區(qū)域里，由電場加速獲得速度才能到達(dá)P點(diǎn)．題中P點(diǎn)的位置未知，分情況進(jìn)行討論：
1、若粒子從y軸上由靜止釋放，則粒子先加速后磁場偏轉(zhuǎn)，由幾何知識(shí)得到磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與OP距離間的關(guān)系：a=2nR （=n=1，2，3，…）．分別根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求解電場加速粒子獲得的速度、磁場中軌跡半徑表達(dá)式，即可求出初始坐標(biāo)滿足的條件；
2、若粒子在電場中的起點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y₂），分x＞a，x=a，x＜a三種情況討論，用同樣的方法求解．

解答：解：要使粒子能經(jīng)過P點(diǎn)，其初始位置必須在勻強(qiáng)電場區(qū)域里．由于沒有明確粒子所在的位置，分兩種情況討論：
（1）若粒子從y軸上由靜止釋放，在電場加速下沿y軸從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由于粒子可能偏轉(zhuǎn)一個(gè)、十個(gè)…半圓到達(dá)P點(diǎn)，由幾何知識(shí)得
   a=2nR （n=1，2，3，…） ①
設(shè)釋放處距O的距離為y₁，則有
   qEy₁=

1

2

mv2    ②
又 qvB=m

v2

R

      ③
由①②③得，y₁=

B2qa2

8n2mE

 （n=1，2，3，…）
（2）若粒子在電場中的起點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y₂）
據(jù)題意分析，有
  若x＞a，根據(jù)左手定則判斷可知，粒子不可能經(jīng)過P點(diǎn)；
  若x=a，不論取值如何，粒子均能經(jīng)過P點(diǎn)；
  若x＜a，則 a-x=2nR（n=1，2，3，…）
同理可得
  y₂=

B2q(a-x)2

8n2mE

（n=1，2，3，…）
答：要使粒子能經(jīng)過P點(diǎn)，其初始坐標(biāo)應(yīng)滿足條件是：
（1）若粒子從y軸上由靜止釋放，y₁=

B2qa2

8n2mE

（n=1，2，3，…）；
（2）若粒子在電場中的起點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y₂），
x=a或x＜a，y₂=

B2q(a-x)2

8n2mE

（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評：本題是多解問題，在條件不明時(shí)，要分情況進(jìn)行討論，不能漏解．分析時(shí)，要畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系得到粒子運(yùn)動(dòng)的半徑與OP距離的關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵．