Question

如圖所示，由六根質(zhì)量不計的導(dǎo)體棒組成一個人字形線圈，放在光滑絕緣水平面上，每根導(dǎo)棒長均為L=1m，線圈總電阻R=0.2Ω，將ad與a′d′用細(xì)線OO′拉住，e、f是兩個質(zhì)量都為m=0.1kg光滑轉(zhuǎn)軸，四根傾斜導(dǎo)體棒與水平面成37⁰角．人字形線圈在水平面投影區(qū)內(nèi)有兩塊對稱的區(qū)域，豎直向上的勻強(qiáng)磁場B穿過這兩塊區(qū)域．如圖中陰影區(qū)域所示（ad與a′d′恰在磁場中），其他地方?jīng)]有磁場．磁場按B=

1

3

+0.5t 的規(guī)律變化，取sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）t=0時水平面對線圈ad邊支持力的大小和此時通過線圈電流大��；
（2）經(jīng)過多少時間線圈的ad邊與a′d′邊開始運(yùn)動？
（3）若在磁場力作用下經(jīng)過一段時間，當(dāng)線圈中產(chǎn)生了Q=1.2J熱量后線圈剛好能完全直立（即ad邊與a′d′邊并攏在一起），則在此過程中磁場對線圈總共提供了多少能量？
（4）若人形線圈從直立狀態(tài)又散開，此時磁感強(qiáng)度為B₀=

1

3

T且不再變化，則ad邊與a′d′再次剛進(jìn)入磁場時，通過線圈的電流為多大？

Answer 1

分析：（1）t=0時，對整個線圈以a′d′為轉(zhuǎn)動軸，由力矩平衡求出水平面對線圈ad邊支持力的大�。�由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢，由歐姆定律求出線圈中電流的大小．
（2）平衡剛被破壞時細(xì)線OO′中拉力為零，對半個線圈以ef為轉(zhuǎn)動軸，由力矩平衡求出安培力的大小，由F=BIL求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，由B=

1

3

+0.5t 求出時間．
（3）線圈由平衡被破壞到完全直立過程中，磁場對線圈總共提供的能量等于線圈機(jī)械能的增加量與內(nèi)能之和．
（4）人形線圈從直立狀態(tài)又散開，根據(jù)動能定理求出ad邊與a′d′再次剛進(jìn)入磁場時兩軸e、f的速度，由速度關(guān)系得到ad邊與a′d′再次剛進(jìn)入磁場時的速度，由法拉第定律和歐姆定律及歐姆定律求解電流．

解答：解：（1）對整個線圈以a′d′為轉(zhuǎn)動軸，由力矩平衡有
N×2Lcos37°=2mg×Lcos37°
由上式得　N=mg=0.1×10N=1N
E=

△B

△t

S=0.5×0.2×1×2=0.2V
I=

E

R

=

0.2

0.2

=1A　　　　　
（2）平衡剛被破壞時細(xì)線OO′中拉力為零，對半個線圈以ef為轉(zhuǎn)動軸，由力矩平衡有
   F_A×Lsin37°=N×L cos37°  
得  FA=Nctg37o=1×

4

3

N=

4

3

N
由F_A=B_tIL
得Bt=

FA

IL

=

4 3

1×1

T=

4

3

T
由關(guān)系式B_t=

1

3

+0.5t　　得  t=2B_t-

2

3

=2×

4

3

-

2

3

=2（s）
（3）線圈由平衡被破壞到完全直立過程中機(jī)械能的增加量
△E_P=2mgL（1-sin37°）=2×0.1×10×1×（1-0.6）J=0.8J　
磁場提供的能量 E=△E_P+Q=（0.8+1.2）J=2J　　
（4）人形線圈從直立狀態(tài)又散開，ad邊與a′d′再次剛進(jìn)入磁場時，設(shè)兩軸e、f的速度為v（方向豎直向下），ad邊與a′d′邊的速度大小為v_x （方向水平）
由動能定理  2mgL（1-cos37°）=2×

1

2

mv²　　　　　　　　　　
v=

2gL(1-cos37o

)=

2×10×1×(1-0.8)

m/s=2m/s
而v_x=vcot37°=2×

4

3

=

8

3

m/s　　　　　　　　　　　　　　
ad邊與a′d′邊每一條邊的電動勢Eˊ=B₀Lv_x=

1

3

×1×

8

3

V=

8

9

V
線圈中的電流  Iˊ=

2E′

R

=

2× 8 9

0.2

A=

80

9

A=8.9A
答：
（1）t=0時水平面對線圈ad邊支持力的大小為1N，此時通過線圈電流大小是1A；
（2）經(jīng)過2s時間線圈的ad邊與a′d′邊開始運(yùn)動．
（3）磁場對線圈總共提供了2J的能量．
（4）ad邊與a′d′再次剛進(jìn)入磁場時，通過線圈的電流為8.9A．

點(diǎn)評：本題是非常復(fù)雜的電磁感應(yīng)與力學(xué)的綜合題從力和能量兩個方面進(jìn)行研究，根據(jù)力矩平衡求解支持力，運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動勢，對能力要求較高．