Question

如圖所示，質(zhì)量為m、長為L的均勻細(xì)桿OA，一端通過光滑鉸鏈固定在地面O處，在細(xì)桿中點(diǎn)B處系一根細(xì)繩，細(xì)繩繞過兩個光滑定滑輪后懸掛著物體D，物體D的質(zhì)量為細(xì)桿質(zhì)量的1/3，D離滑輪距離足夠遠(yuǎn)．在外力F的作用下使細(xì)桿與地面保持夾角θ為60°，此時細(xì)繩CB與桿的夾角也為60°（如圖所示）．已知細(xì)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動的動能表達(dá)式為Ek=

1

6

mL2ω2，m表示桿的質(zhì)量，L表示桿的長度，ω表示桿轉(zhuǎn)動的角速度．求：
（1）外力F的最小值．
（2）撤去外力F后，細(xì)桿從圖示位置到繞O點(diǎn)罷到地面前的過程中，系統(tǒng)（指細(xì)桿和物體D）重力勢能的變化量．
（3）撤去外力F后，細(xì)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到地面的瞬間，物體D的速度大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)力矩平衡條件，當(dāng)力臂最長時，外力最�。�當(dāng)F作用在A點(diǎn)且與桿垂直斜向上時，F(xiàn)最小．由力矩平衡條件求出F最小值．
（2）撤去外力F后，細(xì)桿從圖示位置到繞O點(diǎn)罷到地面前的過程中，物體D上升重力勢能增大，桿的重心下降，重力勢能減小，根據(jù)幾何知識求出D上升的高度和桿重心下降的高度，進(jìn)而求出系統(tǒng)（指細(xì)桿和物體D）重力勢能的變化量．
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動知識，研究細(xì)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到地面的瞬間桿的角速度與物體D速度的關(guān)系，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解．

解答：解：（1）要使F最小，F(xiàn)必須作用于A點(diǎn)，且方向垂直于桿斜向上．如圖．
根據(jù)力矩平衡條件得：FL+T

L

2

sin60°=mgcos60°
    又T=

1

3

mg
代入解得  F=

3- 3

12

mg=0.11mg
（2）撤去外力F后，細(xì)桿從圖示位置到繞O點(diǎn)罷到地面前的過程中，物體D的重力勢能增大，桿的重力勢能減小，
      由圖可知，細(xì)桿重心下降了

3

4

L，物體D上升了

L

2

          則△E_P=

1

3

mg?

L

2

-mg

3

4

L=

2-3 3

12

mgL=-0.27mgL
     即系統(tǒng)的重力勢能減小了0.27mgL．
（3）設(shè)細(xì)桿著時角速度為ω，B點(diǎn)著地時速度為v_B，物體D的速度為v_D，則
       v_B=ω?

L

2

   v_D=v_Bsinθ
根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒得
   

1

6

mL2ω2+

1

2

×

1

3

m

v

2 D

=-△E_P
代入解得v_D=0.5

gL

答：（1）外力F的最小值為0.11mg．
    （2）撤去外力F后，細(xì)桿從圖示位置到繞O點(diǎn)罷到地面前的過程中，系統(tǒng)重力勢能的變化量為-0.27mgL．
    （3）撤去外力F后，細(xì)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到地面的瞬間，物體D的速度大小為v_D=0.5

gL

．

點(diǎn)評：本題考查力矩平衡與能量守恒定律綜合運(yùn)用的能力，難點(diǎn)在于尋找著地時，物體D與桿上B點(diǎn)速度關(guān)系．