Question

一宇航員到達(dá)半徑為R，密度均勻的某星球表面，做如下實(shí)驗(yàn)，用不可伸長(zhǎng)的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點(diǎn)，如圖甲所示，在最低點(diǎn)給小球某一初速度，使其繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得繩的拉力大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示，F(xiàn)₁=7F₂，設(shè)R、m、引力常量G、F₁、F₂均為己知量，忽略各種阻力，以下說(shuō)法正確的是（　�。�

• A、小球在最高點(diǎn)的最小速度為零
• B、衛(wèi)星繞該星的第一宇宙速度為

  RF2 m

• C、該星球表面的重力加速度為

  F1

  7m

• D、星球的質(zhì)量為

  F2R2

  Gm

Answer 1

分析：（1）對(duì)小球受力分析，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，由向心力的公式和整個(gè)過(guò)程的機(jī)械能守恒可以求得重力加速度的大��；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度．
（3）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時(shí)，萬(wàn)有引力和重力近似相等，可以求得星球的質(zhì)量；
（4）對(duì)小球在最高點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律分析求解問(wèn)題．

解答：解：A、小球在最高點(diǎn)受重力和繩子拉力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
  F₂+mg=m

v22

R

≥mg
所以小球在最高點(diǎn)的最小速v₂≥

gR

．故A錯(cuò)誤；
B、設(shè)砝碼在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線(xiàn)的拉力為F₁，速度為v₁，則
  F₁-mg=m

v12

R

 ①
設(shè)砝碼在最高點(diǎn)細(xì)線(xiàn)的拉力為F₂，速度為v₂，則
  F₂+mg=m

v22

R

②
由機(jī)械能守恒定律得 mg2r+

1

2

mv₂²=

1

2

mv₁²  ③
由①、②、③解得
  g=

F1-F2

6m

④
又：F₁=7F₂，
所以該星球表面的重力加速度為g=

F1

7m

=

F2

m

，
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：m

v2

R

=mg
衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為v=

gR

=

RF1 7m

=

RF2 m

，故B、C正確．
D、在星球表面，萬(wàn)有引力近似等于重力G

Mm′

R2

=m′g      ⑤
由④、⑤解得  M=

F1R2

7Gm

=

F2R2

Gm

，故D正確．
故選：BCD．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)砝碼做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，知道在星球表面時(shí)，萬(wàn)有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的重力就作為做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．