Question

半徑為R的水平圓臺(tái)，可繞通過圓心O的豎直光滑細(xì)軸CC′轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，圓臺(tái)上沿相互垂直的兩個(gè)半徑方向刻有凹槽，質(zhì)量為m_A的物體A放在一個(gè)槽內(nèi)，物體A與槽底間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，質(zhì)量為m_B的物體B放在另一個(gè)槽內(nèi)，此槽是光滑的．AB間用一長(zhǎng)為l（l＜R）且不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過細(xì)軸相連．已知圓臺(tái)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且A、B兩物體相對(duì)圓臺(tái)不動(dòng)（A、B兩物體可視為質(zhì)點(diǎn)，物體的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力）．
（1）當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₀，OA的長(zhǎng)度為l₁時(shí)，試寫出A、B兩個(gè)物體受到的向心力大小的表達(dá)式．
（2）不論圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大，要使物體A和槽之間恰好沒有摩擦力，則OA的長(zhǎng)為多大？
（3）設(shè)OA長(zhǎng)為x，試分析圓臺(tái)的角速度ω和物體A到圓心的距離x所應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）已知轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，由題意可知兩物體的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，由向心力公式可求得向心力大小的表達(dá)式；
（2）要使A球不受摩擦力，應(yīng)使繩子的拉力充當(dāng)兩物體的向心力，則兩球需要的向心力相等，聯(lián)立兩式可解得距離；
（3）可分為兩物體恰無摩擦力、A恰好達(dá)到最大靜摩擦力和B恰好達(dá)到最大靜摩擦力三種情況分析，由牛頓第二定律可得出角速度及距離的可能值．

解答：解：（1）由向心力公式可得：
A向心力大小的表達(dá)式：F_A=m_Aω₀²l₁      
B的向心力：F_B=m_Bω₀²（l-l₁）   
（2）設(shè)OA長(zhǎng)為l₁，則OB為l-l₁；
F=m_Aω²l₁       
F=m_Bω²（l-l₁）   
解得 l1=

mB

mA+mB

l．
（3）當(dāng)A、B兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止且恰無摩擦?xí)r，物體A、B的動(dòng)力學(xué)方程分別為
F=m_Aω²x，F(xiàn)=m_Bω²（l-x），聯(lián)立解得x=

mB

mA+mB

l
當(dāng)A、B兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止且A恰沒有做遠(yuǎn)離軸心的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A、B的動(dòng)力學(xué)方程分別為
F+μm_Ag=m_Aω²x，F(xiàn)=m_Bω²（l-x）
ω=

μmAg (mA+mB)x-mBl

，x＞

mB

mA+mB

l
當(dāng)A、B兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止且A恰沒有做向軸心的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A、B的動(dòng)力學(xué)方程分別為
F-μm_Ag=m_Aω²x，F(xiàn)=m_Bω²（l-x）
ω=

μmAg mBl-(mA+mB)x

，x＜

mB

mA+mB

l
綜上分析可知

當(dāng)l≥x＞ mB mA+mB l時(shí)，ω≤ μmAg (mA+mB)x-mBl ； 當(dāng)x= mB mA+mB l時(shí)，ω可以任意取值； 當(dāng)0≤x＜ mB mA+mB l時(shí)，ω≤ μmAg mBl-(mA+mB)x

點(diǎn)評(píng)：本題通過連接體考查牛頓第二定律、向心力公式及摩擦力，解題時(shí)要注意兩物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同；同時(shí)要注意兩小球繩子的拉力相同，而拉力與摩擦力共同充當(dāng)向心力；找好臨界值才能正確求解本題；本題難度較大．