Question

（2011?深圳二模）細管AB內壁光滑、厚度不計，加工成如圖所示形狀，長L=0.8m的BD段固定在豎直平面內，其B端與半徑R=0.4m的光滑圓弧軌道

BP

平滑連接，CD段是半徑R=0.4m的

1

4

圓弧，AC段在水平面上，與長S=1.25m、動摩擦因數(shù)μ=0.25的水平軌道AQ平滑相連，管中有兩個可視為質點的小球a、b，m_a=3m_b．開始b球靜止，a球以速度v₀向右運動，與b球發(fā)生彈性碰撞之后，b球能夠越過軌道最高點P，a球能滑出AQ．（重力加速度g取10m/s²，

6

≈2.45）．求：
①若v₀=4m/s，碰后b球的速度大�。�
②若v₀未知，碰后a球的最大速度；
③若v₀未知，v₀的取值范圍．

Answer 1

分析：①、a、b過程中動量和機械能都守恒，分別用動量守恒和機械能守恒列式求解即可．
②、要想讓a球能滑出AQ，則a球與b球碰撞后，a球不能超過B點，否則a球會進入半圓形軌道，就不會經過AQ．a球碰撞后直至B的過程中，機械能守恒．應用機械能守恒定律可求出碰后a球的最大速度．
③、要使b球能順利經過最高點，則在最高點時有v≥

gR

，由此可應用機械能守恒求出b球碰撞后的最小速度．從而求出a球碰撞前的最小速度（注意：還要兼顧a球滑出AQ）．要使a球滑出AQ，則a球至少要達到一定的速度才行，由運動學公式可求出此條件．碰后a上升的高度不能超過（L+R），否則a球就不會返回經過AQ，結合第二問可求出a球的最大速度．

解答：解：
①、a、b碰撞過程中，以a、b組成的系統(tǒng)為研究對象，經受力分析，系統(tǒng)動量守恒．選向右的方向為正，設a、b碰后瞬間速度為v_a1、v_b1，由動量守恒得：
m_av₀=m_av_a1+m_bv_b1…①
因a、b的碰撞是彈性碰撞，所以碰撞過程中機械能守恒，有：

1

2

ma 

v

2 0

=

1

2

ma 

v

2 a1

+

1

2

mb

v

2 b1

…②
①②兩式聯(lián)立解得：va1=

ma-mb

ma+mb

v0=2m/s
                  vb1=

2ma

ma+mb

v0=6m/s
②、因a球能滑出AQ，故a與b碰后，a上升的高度不能超過B點，即上升的高度不會超過L+R．設碰撞后a的最大速度為

v

2 a1max

a球上升的過程中機械能守恒，有：

1

2

ma 

v

2 a1max

=m_ag（L+R）
得：

v

a1max

=

6gR

≈4.9m/s
③、欲使b能通過最高點，設b球與a碰撞后的速度為

v

b1

，經過最高點時的速度為v_b2，則有：
mbg≤mb 

v 2 b2

R

得：vb2≥

gR

=2m/s
b球在上升至最高點的過程中，只有重力做功，機械能守恒，有：

1

2

mb

v

2 b1

=

1

2

mb

v

2 b2

+mbg(2R+L)
解得：v_b1≥6m/s
v0min≥

ma+mb

2ma

vb1=4m/s
因為a球能通過粗糙區(qū)域，設a碰撞前的速度為

v

′ 0

，碰撞后，的速度為v_a1，則有：

v

2 a1

＞2μgs
解得：v_a1＞2.5m/s

v

′ 0

=2va1＞5m/s
碰后a上升的高度不能超過（L+R），必須滿足

v

0max

=2va1≤2

6gR

≈9.8m/s
綜上可得
5m/s＜v₀≤9.8m/s   
答：①若v₀=4m/s，碰后b球的速度為6m/s．
②若v₀未知，碰后a球的最大速度4.9m/s
③若v₀未知，v₀的取值范圍為5m/s＜v₀≤9.8m/s

點評：此題的第一第二問較為簡單，只要判斷出動量和機械能守恒，應用這兩個守恒定律可求出結果．第三問較為復雜，一定要分析清楚a、b的運動過程和臨界狀態(tài)．這里有三個臨界狀態(tài)，一是b球恰能通過最高點；二是a球不能超過B點；三是a球還要滑出AQ．所以對這三個臨界狀態(tài)的分析成了解決此題的關鍵．
所謂臨界問題是指一種物理過程或物理狀態(tài)轉變?yōu)榱硪环N物理過程或物理狀態(tài)的時候，存在著分界的現(xiàn)象，即所謂的臨界狀態(tài)，符合這個臨界狀態(tài)的條件即為臨界條件．滿足臨界條件的物理量稱為臨界值，在解答臨界問題時，就是要找出臨界狀態(tài)，分析臨界條件，求出臨界值． 
解決臨界問題，一般有兩種基本方法：（1）以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解，然后分析、討論其特殊規(guī)律和特殊解．（2）直接分析、討論臨界狀態(tài)和相應的臨界值，求解出所研究問題的規(guī)律和解．