Question

如圖甲所示，在邊界OO′左側(cè)區(qū)域有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場(chǎng)方向水平向外．右側(cè)水平放置長(zhǎng)為L(zhǎng)、相距為d的平行金屬板M、N，M 板左端緊靠磁場(chǎng)邊界，磁場(chǎng)邊界上O點(diǎn)與N 板在同一水平面上，邊界OO′與水平面的夾角為45°，O₁O₂為平行板的中線，在兩板間存在如圖乙所示的交變電場(chǎng)（取豎直向下為正方向）．某時(shí)刻從O 點(diǎn)豎直向上同時(shí)發(fā)射兩個(gè)質(zhì)量均為m、電量均為+q的粒子a和b，初速度不同．粒子b在圖乙中的時(shí)刻，恰好緊靠M板左端進(jìn)入電場(chǎng)，粒子a從O₁點(diǎn)進(jìn)入板間電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)．不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用．

求：
（1）粒子a、b 從O 點(diǎn)射出時(shí)的初速度v_a和v_b；
（2）若交變電場(chǎng)周期T=

4m

qB

，粒子b在圖乙中的t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，粒子a是在圖乙中的哪一時(shí)刻，從O₁點(diǎn)進(jìn)入板間電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)；
（3）若粒子b 恰能以最大的速度穿出極板間電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀ 應(yīng)滿足的條件及粒子b穿過(guò)板間電場(chǎng)過(guò)程中，電場(chǎng)力所做功的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意正確畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的軌跡，在根據(jù)軌跡上的幾何關(guān)系確定粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛倫茲力提供向心力求得速度；
（2）粒子a、b同時(shí)離開(kāi)磁場(chǎng)，a比b進(jìn)入電場(chǎng)落后時(shí)間為△t=

d

2va

，即可求解．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，進(jìn)而確定粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，最后求出電場(chǎng)強(qiáng)度滿足的條件；電場(chǎng)力做功最大值為 W=qE₀y，y是粒子在

T

2

時(shí)間內(nèi)沿電場(chǎng)方向的位移．

解答：解：（1）如圖甲所示，粒子a、b在磁場(chǎng)中均偏轉(zhuǎn)90°平行于金屬板進(jìn)入電場(chǎng)，設(shè)兩粒子在磁場(chǎng)中回旋半徑分別是r_a和r_b，則由幾何關(guān)系有：
 r_a=

d

2

； r_b=d
由洛倫茲力提供向心力有：
qvB=m

v2

r

，v=

qBr

m

解得：v_a=

qBd

2m

，v_b=

qBd

m

（2）粒子a、b同時(shí)離開(kāi)磁場(chǎng)，a比b進(jìn)入電場(chǎng)落后時(shí)間為：△t=

d

2va

=

d

2? qBd 2m

=

m

qB

=

T

4

故粒子b在圖乙中的t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，粒子a是在圖乙中的

T

4

時(shí)刻，從O₁點(diǎn)進(jìn)入板間電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)；
（3）粒子b在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度 a=

qE0

m

，粒子b在電場(chǎng)方向上速度隨時(shí)間的變化圖象如圖丙所示，依題意，粒子b在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間滿足：
t_b=

L

vb

=k

T

2

（k=1、3、5…）
又因?yàn)橛校簐_b=

qBd

m

粒子在

T

2

時(shí)間內(nèi)沿電場(chǎng)方向的位移為：
y=

1

2

a(

T

2

)2
且滿足ky≤d
解得：E₀≤

2kqd2B2

mL2

（k=1、3、5…）
電場(chǎng)力做功為：W=qE₀y=qE₀?

1

2

a(

T

2

)2
解得：W=

2q2d4B2

mL2

答：（1）粒子a、b 從O 點(diǎn)射出時(shí)的初速度v_a和v_b分別為

qBd

2m

和

qBd

m

．
（2）粒子b在圖乙中的t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，粒子a是在圖乙中的

T

4

時(shí)刻，從O₁點(diǎn)進(jìn)入板間電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)；
（3）若粒子b 恰能以最大的速度穿出極板間電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀ 應(yīng)滿足的條件：E₀≤

2kqd2B2

mL2

（k=1、3、5…），粒子b穿過(guò)板間電場(chǎng)過(guò)程中，電場(chǎng)力所做功的最大值為

2q2d4B2

mL2

．

點(diǎn)評(píng)：做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，利用幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析，難度較大．