Question

【題目】如圖所示，兩根等高光滑的 圓弧軌道，半徑為r、間距為L(zhǎng)，軌道電阻不計(jì)．在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個(gè)裝置處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一根長(zhǎng)度稍大于L、質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬棒從軌道的頂端ab處由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)軌道底端cd時(shí)受到軌道的支持力為2mg．整個(gè)過(guò)程中金屬棒與導(dǎo)軌電接觸良好，求：

（1）棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小和通過(guò)電阻R的電流．
（2）棒從ab下滑到cd過(guò)程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱和通過(guò)R的電荷量．
（3）若棒在拉力作用下，從cd開(kāi)始以速度v0向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)ab
①請(qǐng)寫(xiě)出桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間t的變化關(guān)系？
②在桿到達(dá)ab的過(guò)程中拉力做的功為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：棒在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得

N﹣mg=m

由題得 N=2mg

可得 v=

棒經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv=BL

通過(guò)電阻R的電流 I= =

（2）

解：整個(gè)過(guò)程中系統(tǒng)能量守恒得：

回路中產(chǎn)生的焦耳熱 Q=mgr﹣ = mgr

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：

=

感應(yīng)電流的平均值 =

通過(guò)R的電荷量 q= △t

聯(lián)立得 q=

又△Φ=BLr

所以可得 q=

（3）

解：①金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中水平方向的分速度 vx=v0cosωt

又 v0=ωr

金屬棒切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的余弦交變電：e=BLvx=BLv0cos

②四分之一周期內(nèi)，電流的有效值：I=

由能量守恒得：拉力做的功 W=mgr+Q

由焦耳定律得 Q=I2R

T=

解得：W=mgr+

【解析】（1）金屬棒在cd端時(shí)由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度．由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再由歐姆定律求通過(guò)R的電流．（2）根據(jù)能量守恒定律求回路中產(chǎn)生的焦耳熱．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式推導(dǎo)出電量表達(dá)式q= ，來(lái)求通過(guò)R的電荷量．（3）①棒沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中水平方向的分速度vx ， 再由E=BLvx求瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．
②金屬棒切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生余弦交變電，求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值，再由功能關(guān)系求拉力做的功．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解焦耳定律的相關(guān)知識(shí)，掌握焦耳定律:Q=I2Rt，式中Q表示電流通過(guò)導(dǎo)體產(chǎn)生的熱量，單位是J.焦耳定律無(wú)論是對(duì)純電阻電路還是對(duì)非純電阻電路都是適用的．