Question

如圖所示，光滑的

1

4

圓弧軌道AB、EF，半徑AO、O′F均為R且水平．質(zhì)量為m、長(zhǎng)度也為R的小車(chē)靜止在光滑水平面CD上，小車(chē)上表面與軌道AB、EF的末端B、E相切．一質(zhì)量為m的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道AB的A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，由末端B滑上小車(chē)，小車(chē)立即向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)小車(chē)右端與壁DE剛接觸時(shí)，物體m恰好滑動(dòng)到小車(chē)右端且相對(duì)于小車(chē)靜止，同時(shí)小車(chē)與壁DE相碰后立即停止運(yùn)動(dòng)但不粘連，物體繼續(xù)運(yùn)動(dòng)滑上圓弧軌道EF，以后又滑下來(lái)沖上小車(chē)．求：
（1）水平面CD的長(zhǎng)度；
（2）物體m滑上軌道EF的最高點(diǎn)相對(duì)于E點(diǎn)的高度h；
（3）當(dāng)物體再?gòu)能壍繣F滑下并滑上小車(chē)后，小車(chē)立即向左運(yùn)動(dòng)．如果小車(chē)與壁BC相碰后速度也立即變?yōu)榱�，最后物體m停在小車(chē)上的Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)距小車(chē)右端多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：（1）物體從軌道AB下滑過(guò)程，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出物體從A滑至B點(diǎn)時(shí)速度．物體在小車(chē)滑動(dòng)的過(guò)程，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，當(dāng)物體與小車(chē)相對(duì)靜止時(shí)，兩者速度相同，根據(jù)動(dòng)量守恒可求出共同速度．再根據(jù)動(dòng)能定理分別對(duì)物體和小車(chē)列式，即可求解CD的長(zhǎng)度．
（2）物體滑上EF的過(guò)程，只有重力做功，其機(jī)械能守恒，即可由機(jī)械能守恒定律求解h．
（3）物體從EF滑下后并滑上小車(chē)后，當(dāng)物體與小車(chē)達(dá)到相對(duì)靜止，有共同速度，由動(dòng)量守恒求出共同速度，結(jié)合動(dòng)能定理對(duì)小車(chē)和物體研究，分別求出物體相對(duì)小車(chē)的位移和小車(chē)滑行的位移．從而得出Q點(diǎn)距小車(chē)右端的距離．

解答：解：（1）設(shè)物體從A滑至B點(diǎn)時(shí)速度為v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒，有
  mgR=

1

2

mv

2 0

設(shè)小車(chē)與壁DE剛接觸時(shí)物體及小車(chē)達(dá)到的共同速度為v₁，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有
  mv₀=2mv₁
設(shè)二者之間摩擦力為f，則
對(duì)物體：-fgs_CD=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

mv

2 0

對(duì)小車(chē)：f（s_CD-R）=

1

2

m

v

2 1

解得：s_CD=

3

2

R
（2）車(chē)與ED相碰后，物體以速度v₁沖上EF，則
 

1

2

m

v

2 1

=mgh，
解得：h=

R

4

（3）由第（1）問(wèn)可求得：f=

1

2

mg，v₁=

gR 2

物體從軌道EF滑下并再次滑上小車(chē)后，設(shè)它們?cè)俅芜_(dá)到共同速度為v₂，物體相對(duì)車(chē)滑行距離s₁，則 mv₁=2mv₂                                       
 fs₁=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

×2m

v

2 2

，
解得：s₁=

1

4

R
s₁＜R，說(shuō)明在車(chē)與BC相碰之前，車(chē)與物體達(dá)到相對(duì)靜止，以后一起勻速運(yùn)動(dòng)直到小車(chē)與壁BC相碰．車(chē)停止后物體將做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)相對(duì)車(chē)滑行距離s₂，則
 fs₂=

1

2

m

v

2 2

，
解得：s₂=

1

8

R
所以物體最后距車(chē)右端 s_總=s₁+s₂=

3

8

R
 答：
（1）水平面CD的長(zhǎng)度為

3

2

R；
（2）物體m滑上軌道EF的最高點(diǎn)相對(duì)于E點(diǎn)的高度h為

R

4

；
（3）當(dāng)物體再?gòu)能壍繣F滑下并滑上小車(chē)后，小車(chē)立即向左運(yùn)動(dòng)．如果小車(chē)與壁BC相碰后速度也立即變?yōu)榱�，最后物體m停在小車(chē)上的Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)距小車(chē)右端為

3

8

R．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律以及能量守恒定律，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)的規(guī)程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．