Question

如圖4－3－13所示為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零．不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g.求：

(1)質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v₁；

(2)彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p；

(3)已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90°角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在m到m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

解析　(1)質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，

則mg＝m                                                                                                   ①

由①式解得

v₁＝                                                                                                                ②

(2)彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機械能，

由機械能守恒定律有

E_p＝mg(1.5R＋R)＋mv₁²                                                                                                                                                                 ③

由②③式解得

E_p＝3mgR                                                                                                          ④

(3)不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動裝置對魚餌速度大小的影響，

質(zhì)量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動，

設(shè)經(jīng)過t時間落到水面上，

離OO′的水平距離為x₁，

由平拋運動規(guī)律有

4．5R＝gt²                                                                                                                                                                                                        ⑤

x₁＝v₁t＋R                                                                                                                ⑥

由⑤⑥式解得x₁＝4R                                                                                         ⑦

當(dāng)魚餌的質(zhì)量為m時，

設(shè)其到達管口C時速度大小為v₂，

由機械能守恒定律有

E_p＝mg(1.5R＋R)＋v₂²                                                                                                                                                     ⑧

由④⑧式解得v₂＝2                                                                                         ⑨

質(zhì)量為m的魚餌落到水面上時，

設(shè)離OO′的水平距離為x₂，則

x₂＝v₂t＋R                                                                                                                ⑩

由⑤⑨⑩式解得x₂＝7R

魚餌能夠落到水面的最大面積

S＝(πx₂²－πx₁²)＝πR²(或8.25πR²)．

答案　(1)

(2)3mgR

(3)πR²(或8.25πR²)