Question

如圖所示，兩塊足夠大的平行金屬板a、b豎直放置，板間有場強為E的勻強電場，兩板距離為d，今有一帶正電微粒從a板下邊緣以初速度v₀豎直向上射入板間，當它飛到b板時，速度大小不變，而方向變?yōu)樗�平方向，且剛好從高度也為d的狹縫穿過b板而進入bc區(qū)域，bc區(qū)域的寬度也為d，所加電場大小為E，方向豎直向上，磁感應強度B=

E

v0

，方向垂直紙面向里．求：
（1）微粒的帶電量q；
（2）微粒穿出bc區(qū)域的位置到a板下邊緣的豎直距離L（用d表示）；
（3）微粒在ab、bc區(qū)域中運動的總時間t（用d、v₀表示）．

Answer 1

分析：（1）將粒子的運動分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)兩個方向上的運動規(guī)律，抓住等時性求出微粒的帶電量．
（2）根據(jù)第一問可知，粒子電場力和重力平衡，則粒子在bc區(qū)域內做勻速圓周運動．根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子做圓周運動的半徑，結合幾何關系求出微粒穿出bc區(qū)域的位置到a板下邊緣的豎直距離L．
（3）根據(jù)粒子在ab區(qū)域內水平方向上做勻加速直線運動，根據(jù)平均速度公式求出運動的時間，通過粒子在磁場中做圓周運動的圓心角求出粒子在磁場中運動的時間，從而求出總時間．

解答：解：（1）微粒在電場中受水平向右的電場力和豎直向下的重力，其運動分解為水平和豎直方向的勻變速運動．
水平方向上的加速度a=

qE

m

，
又

v0

g

=

v0

a

解得q=

mg

E

．
（2）微粒進入bc區(qū)域中由于電場力與重力平衡，微粒在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動
qv0B=m

v02

r

又B=

E

v0

，d=

v02

2g

得圓周半徑r=2d
微粒剛進入bc時洛倫茲力方向向上，逆時針偏轉，軌跡如圖所示，設圓心角為θ，有幾何關系得，
sinθ=

d

r

=

1

2

，即θ=30°．
微粒穿出bc區(qū)域的位置到a板下邊緣的豎直距離L=d+r(1-cos30°)=(3-

3

)d．
（3）微粒在電場中的運動時間t1=

2d

v0

磁場中運動的時間t2=

rθ

v0

=

πd

3v0

在ab、bc區(qū)域中運動的總時間t=t1+t2=

(π+6)d

3v0

．
答：（1）微粒的帶電量q=

mg

E

．
（2）微粒穿出bc區(qū)域的位置到a板下邊緣的豎直距離L=(3-

3

)d．
（3）微粒在ab、bc區(qū)域中運動的總時間t=

(π+6)d

3v0

．

點評：本題關鍵是將粒子在電場中的運動正交分解為直線運動來研究，而粒子在復合場中運動時，重力和電場力平衡，洛侖茲力提供向心力，粒子做勻速圓周運動．