Question

一皮帶傳動(dòng)裝置如圖所示，皮帶的速度v足夠大.一根質(zhì)量不計(jì)、勁度系數(shù)為k的彈簧一端固定，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊，已知滑塊與皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.當(dāng)滑塊放到皮帶上時(shí)，彈簧的軸線恰好水平，若滑塊放到皮帶上的瞬間，滑塊的速度為零，且彈簧正好處于自由長(zhǎng)度，則當(dāng)彈簧第一次伸長(zhǎng)到最大時(shí)，滑塊與皮帶間所產(chǎn)生的熱量是多少？

Answer 1

μmg(vπ-2μmg/k)

由于皮帶的速度v足夠大，故以皮帶為參考系，滑塊始終是向右運(yùn)動(dòng)，滑塊所受到的滑動(dòng)摩擦力方向始終是向左的.滑塊實(shí)際上是向左運(yùn)動(dòng)，只要彈簧對(duì)它的拉力小于摩擦力，滑塊是加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧對(duì)它的拉力大于摩擦力，滑塊做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑塊的速度減小到零時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量最大，以后，滑塊在彈簧拉力和摩擦力的作用下向右運(yùn)動(dòng).由于滑塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的摩擦力的大小和方向都不變，故此滑塊在皮帶上的運(yùn)動(dòng)類似于豎直的彈簧振子，此處的摩擦力相當(dāng)于豎直彈簧振子的重力，所以滑塊的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).其振幅為A=μmg/k，彈簧伸長(zhǎng)的最大長(zhǎng)度也就是滑塊運(yùn)動(dòng)的位移（對(duì)地）為：
s=2A=2μmg/k
滑塊在這段位移是所經(jīng)歷的時(shí)間為：
Δt=T/2=π
滑塊在皮帶上相對(duì)路徑為：
Δl=vΔt-s=vπ-2μmg/k
所以，在這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量，即：
Q=μmgΔl=μmg(vπ-2μmg/k).