Question

（2012?汕頭一模）如圖，Q為一個(gè)原來(lái)靜止在光滑水平面上的物體，其DB段為一半徑為R的光滑圓弧軌道，AD段為一長(zhǎng)度為L(zhǎng)=R的粗糙水平軌道，二者相切于D點(diǎn)，D在圓心O的正下方，整個(gè)軌道位于同一豎直平面內(nèi)．物塊P的質(zhì)量為m（可視為質(zhì)點(diǎn)），P與AD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，物體Q的質(zhì)量為M=2m，重力加速度為g．
（1）若Q固定，P以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，沖至C點(diǎn)后返回A點(diǎn)時(shí)恰好靜止，求v₀的大小和P剛越過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)Q的壓力大小．
（2）若Q不固定，P仍以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，求P在光滑圓弧軌道上所能達(dá)到的最大高度h．

Answer 1

分析：（1）P從A到C又返回A的過(guò)程中，由動(dòng)能定理求得v₀的大小，由動(dòng)能定理和牛頓定律求解對(duì)Q的壓力大小．
（2）當(dāng)PQ具有共同速度v時(shí)，P達(dá)到的最大高度h，由動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系求解．

解答：解：（1）P從A到C又返回A的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
-μmg?2L=0-

1

2

m

v

2 0

           ①
將L=R代入①解得
 v₀=

2gR 5

                            ②
若P在D點(diǎn)的速度為v_D，Q對(duì)P的支持力為F_D，由動(dòng)能定理和牛頓定律有
-μmgL=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 0

            ③
根據(jù)牛頓第二定律得
F_D-mg=m

v 2 D

R

                    ④
聯(lián)立解得
  F_D=1.2mg                    ⑤
由牛頓第三定律可知，P對(duì)Q的壓力大小也為1.2mg．
（2）當(dāng)PQ具有共同速度v時(shí)，P達(dá)到的最大高度h，由動(dòng)量守恒定律有
mv₀=（m+M）v                       ⑥
由功能關(guān)系有

1

2

m

v

2 0

=μmgL+

1

2

（m+M）v²+mgh  ⑦
聯(lián)立解得
h=

1

30

R
 答：（1）若Q固定，P以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，沖至C點(diǎn)后返回A點(diǎn)時(shí)恰好靜止，v₀的大小是

2gR 5

，P剛越過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)Q的壓力大小是1.2mg．
（2）若Q不固定，P仍以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，P在光滑圓弧軌道上所能達(dá)到的最大高度h是

1

30

R．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，難度適中．