Question

如圖所示，靜放在水平面上的

3

4

圓形（半徑為R）光滑管道ABC，C為最高點(diǎn)，B為最低點(diǎn)，管道在豎直面內(nèi)．管道內(nèi)放一小球，小球可在管道內(nèi)自由移動，現(xiàn)用一裝置將小球鎖定在P點(diǎn)，過P點(diǎn)的半徑OP與豎直方向的夾角為θ．現(xiàn)對管道施加一水平向右的恒力F，同時(shí)解除對小球的鎖定，管道沿水平面向右做勻加速運(yùn)動，小球相對管道仍保持靜止．經(jīng)過一段時(shí)間后管道遇一障礙物突然停止運(yùn)動，小球能到達(dá)管道的A點(diǎn)．重力加速度為g，小球大小及管道內(nèi)釋不計(jì)．求．
（1）恒力作用下圓形管道運(yùn)動的加速度；
（2）圓形管道從開始運(yùn)動到突然停止過程中運(yùn)動距離的可能值．

Answer 1

（1）小球受力如圖，由力的平行四邊形定則及牛頓第二定律得：
mgtanθ=ma；
解得a=gtanθ；
即為恒力作用下的圓形管道運(yùn)動的加速度；
（2）設(shè)圓形管道在運(yùn)動過程中突然停止前進(jìn)的速度為v，由勻變速直線運(yùn)動公式得：v²=2as；
圓形管道停止時(shí)，小球沿管道半徑方向的速度變?yōu)榱悖�沿切線方向的速度保持不變，對速度v沿切向和徑向進(jìn)行分解，則小球速度變?yōu)関′=vcosθ；
小球能運(yùn)動到管道右側(cè)圓心上方至最高點(diǎn)C之間的區(qū)域則可返程到達(dá)A點(diǎn)，或從C點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動到達(dá)A點(diǎn)；
若小球能運(yùn)動到管道右側(cè)圓心上方至最高點(diǎn)C之間的區(qū)域，則由機(jī)械能守恒得：

1

2

m（vcosθ）²=mg（Rcosθ+h），其中0≤h＜R
聯(lián)立以上相關(guān)各式得：

R

sinθ

≤s＜

2R(1+cosθ)

sin2θ

若小球從C點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動到達(dá)A點(diǎn)，則由機(jī)械能守恒及平拋運(yùn)動的規(guī)律得：
R=

1

2

gt²，R=v_Ct

1

2

m（vcosθ）²=mgR（1+cosθ）+

1

2

mv_c²
聯(lián)立以上相關(guān)各式得：s=

R(5+4cosθ)

2sin2θ

圓形管道從開始運(yùn)動到突然停止過程中運(yùn)動距離的可能值為：

R

sinθ

≤s＜

2R(1+cosθ)

sin2θ

及s=

R(5+4cosθ)

2sin2θ