Question

如圖是放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成：光滑水平直軌AB，半徑分別為R₁=1.0m和R₂=3.0m的光滑弧形軌道，傾斜直軌CD長為L=6m，AB、CD與兩圓形軌道相切．有質(zhì)量為m=2kg的小球穿在滑軌上，小球與CD桿間的動摩擦因數(shù)為μ=

1

6

，現(xiàn)給小球v₀=10m/s的初速度從AB的中點E處水平向左開始運動．已知θ=37°，（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）小球第一次通過O₂弧形軌道的最低點F處時對軌道的壓力；
（2）小球從E點開始運動后整個運動過程中，經(jīng)過C 點的次數(shù)．

Answer 1

分析：（1）小球從E滑到F過程中，滿足機械能守恒，再由牛頓第二定律列出向心力表達式，從而求出小球在最低點F處時對軌道的壓力；
（2）由功的表達式求出小球每次克服摩擦力做的功；再由初動能來確定小球能回到E點多少次；由動能定理來求出第7次到達C點的動能，從而可確定小球經(jīng)過C點的次數(shù)．

解答：解：（1）小球從E到B點，再滑到F點的過程中，
根據(jù)機械能守恒得：

1

2

mv02+mg△h=

1

2

mvF2
在F點對滑環(huán)分析受力，得FN-mg=m

vF2

R2

   
得：FN=

500

3

N
根據(jù)牛頓第三定律得小球?qū)�軌道的壓力�?span id="o9hbaxw" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

500

3

N 
（2）小球每通過一次克服摩擦力做功為：W_克=μmgLcosθ=16J
小球恰好越過A點的速度為0，設小球能到達A點的次數(shù)為n，則：
Ek0=

1

2

m

v

2 0

n=

Ek0

W克

=6.25
分析可得小球能回到E點6次 
設小球第7次到C點的動能為E_K，
則：EK-

1

2

m

v

2 0

=mg(R1+R1cosθ)-μmgLcosθ
解得：E_K=24J
即小球第7次沖過C點后返回，沿CD段滑下，以后小球再不能達到C點，所以小球共8次經(jīng)過C點．  
答：：（1）小球第一次通過O₂弧形軌道的最低點F處時對軌道的壓力

50

3

N；
（2）小球從E點開始運動后整個運動過程中，經(jīng)過C點的次數(shù)為8次．

點評：本題考查機械能守恒定律、牛頓第二定律、向心力表達式、求功表達式、動能定理等規(guī)律，注意第（1）問小球在弧形軌道的最低點F處時對軌道的壓力，而不在此處的支持力，所以要用牛頓第三定律，同時在處理第二個問題時，還有一種解法：
第（2）也可以這樣解：假設小球到達C點的速度恰好為0時，小球經(jīng)過CD段的次數(shù)為N，則：
   0-

1

2

m

v

2 0

=mg(R1+R1cosθ)-NμmgLcosθ
解得：N=8.5次，
即小球8次經(jīng)過CD段到達D點，第9次沖上DC 時，沒能沖到C點，所以小球共8次經(jīng)過C點．