Question

如圖所示，真空室內(nèi)存在寬度為d=8cm的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.332T，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里；ab、cd足夠長(zhǎng)，cd為厚度不計(jì)的金箔，金箔右側(cè)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)強(qiáng)度E=3.32×10⁵N/C；方向與金箔成37°角．緊挨邊界ab放一點(diǎn)狀α粒子放射源S，可沿紙面向各個(gè)方向均勻放射初速率相同的α粒子，已知：α粒子的質(zhì)量m=6.64×10^-27kg，電荷量q=+3.2×10^-19C，初速度
v=3.2×10⁶m/s．不計(jì)粒子重力（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）α粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；
（2）金箔cd被α粒子射中區(qū)域的長(zhǎng)度L；
（3）設(shè)打在金箔上d端離cd中心最遠(yuǎn)的α粒子，速度方向不變穿出金箔進(jìn)入電場(chǎng)．在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)通過(guò)N點(diǎn)，SN⊥ab且SN=40cm，則此α粒子從金箔上穿出時(shí)的速度大小為多少？

Answer 1

分析：（1）α粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可求出α粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；
（2）畫(huà)出α粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．α粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，當(dāng)圓周軌跡與cd相切時(shí)向上偏離O最遠(yuǎn)，當(dāng)α粒子沿sb方向射入時(shí)，向下偏離O最遠(yuǎn)，根據(jù)幾何知識(shí)求出向上和向下偏轉(zhuǎn)的最大距離，它們之和即為被α粒子射中區(qū)域的長(zhǎng)度L；
（3）根據(jù)第（2）問(wèn)的結(jié)果，求出α粒子向下打d端時(shí)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角可知，α粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡，將其運(yùn)動(dòng)分解為沿電場(chǎng)方向和垂直于電場(chǎng)方向兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求得α粒子通過(guò)N點(diǎn)時(shí)兩個(gè)分位移，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合即可求出此α粒子從金箔上穿出時(shí)的速度大小．

解答：解：（1）α粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
即有  q_αvB=m_α

v2

R

解得 R=

mαv

qαB

=0.2m=20cm
（2）設(shè)cd中心為O，向c端偏轉(zhuǎn)的α粒子，當(dāng)圓周軌跡與cd相切時(shí)偏離O最遠(yuǎn)，設(shè)切點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)圓心O₁，如圖所示，則由幾何關(guān)系得：
 

.

OP

=

.

Sa

=

R2-(R-d)2

=16cm
向d端偏轉(zhuǎn)的α粒子，當(dāng)沿sb方向射入時(shí)，偏離O最遠(yuǎn)，設(shè)此時(shí)圓周軌跡與cd交于Q點(diǎn)，對(duì)應(yīng)圓心O₂，如圖所示，則由幾何關(guān)系得：
 

.

OQ

=

R2-(R-d)2

=16cm
故金箔cd被α粒子射中區(qū)域的長(zhǎng)度
 L=

.

PQ

=

.

OP

+

.

OQ

=32cm
（3）設(shè)從Q點(diǎn)穿出的α粒子的速度為v′，軌跡所對(duì)的圓心角為α，則sinα=

. OQ

R

=

16

20

=0.8
得 α=53°
由幾何知識(shí)可知，半徑O₂Q∥場(chǎng)強(qiáng)E，則v′⊥E，故穿出的α粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示．
沿速度v′方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
位移為  S_x=（

.

SN

-R）sin53°=16cm
沿場(chǎng)強(qiáng)E方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
位移為  S_y=（

.

SN

-R）cos53°+R=32cm
則由 S_x=v′t   S_y=

1

2

at2  a=

qαE

mα

得：v′=8×10⁵m/s
答：（1）α粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R是20cm；
（2）金箔cd被α粒子射中區(qū)域的長(zhǎng)度L是32cm；
（3）此α粒子從金箔上穿出時(shí)的速度大小是8×10⁵m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題中帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵是畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出長(zhǎng)度與軌跡半徑的關(guān)系．粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的分解法進(jìn)行研究．