Question

（2006?重慶）如圖，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)．小球A、B質(zhì)量分別為m、βm（β為待定系數(shù)）．A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點(diǎn)的B球相撞，碰撞后A、B球能達(dá)到的最大高度均為

1

4

R，碰撞中無機(jī)械能損失．重力加速度為g．試求：
（1）待定系數(shù)β；
（2）第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度和B球?qū)�軌道的壓力�?BR>（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度．

Answer 1

分析：（1）由題，碰撞中無機(jī)械能損失，以AB組成的系統(tǒng)研究，由機(jī)械能守恒定律研究A球從靜止開始下滑到碰撞后A、B球達(dá)到的最大高度的過程，可求出待定系數(shù)β；
（2）碰撞后，A、B兩球各自的機(jī)械能守恒，可求出碰撞后的速度，B球由軌道的支持力和重力的合力提供向心，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解B球?qū)�軌道的壓力�?BR>（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞過程，根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒，求出小球A、B碰撞后兩球的速度，再進(jìn)行討論．

解答：解：（1）A球從靜止開始下滑到碰撞后A、B球達(dá)到的最大高度的過程，由機(jī)械能守恒定律得
   mgR=

1

4

mgR+

1

4

βmgR
解得，β=3
（2）設(shè)A、B碰撞后的速度分別為v₁、v₂，則
則 

1

2

m

v

2 1

=

1

4

mgR
  

1

2

βm

v

2 2

=

1

4

βmgR
設(shè)向右方向正，向左為負(fù)，則得
   v₁=-

1 2 gR

，方向向左；
   v2=

1 2 gR

，方向向右．
設(shè)軌道對(duì)B球的支持力為N，B球?qū)�軌道的壓力為N′，方向豎直向下為正
則由牛頓第二定律得
   N-βmg=βm

v 2 2

R

得，N=4.5mg
由牛頓第三定律得，N′=-N=-4.5mg，方向豎直向下．
（3）設(shè)A、B兩球第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度分別為V₁、V₂，
由機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒得
   mgR=

1

2

m

V

2 1

+

1

2

βm

V

2 2

-mv₁-βmv₂=mV₁+βmV₂
解得，V₁=-

2gR

，V₂=0．（另一組解：V₁=-v₁，V₂=-v₂，不合題意，舍去）
由此可得
  當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞鍘結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同； 
  當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞鍘結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同；
答：
（1）待定系數(shù)β是3．
（2）第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度為-

1 2 gR

，方向向左和

1 2 gR

，方向向右；B球?qū)�軌道的壓力�?.5mg，方向豎直向下．
（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度分別是

2gR

和0，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞鍘結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞鍘結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同；

點(diǎn)評(píng)：本題中兩球發(fā)生彈性碰撞，遵守兩大守恒：機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒，要靈活選擇研究對(duì)象和研究的過程，注意研究動(dòng)量時(shí)，要選正方向，用正負(fù)號(hào)表示動(dòng)量的方向．