Question

如圖所示，在以原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)充滿了磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，x軸下方為一平行板電容器，其正極板與x軸重合且在O處開(kāi)有小孔，兩極板間距離為

πR

12

．現(xiàn)有電荷量為e、質(zhì)量為m的電子在O點(diǎn)正下方負(fù)極板上的P點(diǎn)由靜止釋放．不計(jì)電子所受重力．
（1）若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后剛好從磁場(chǎng)的最右邊緣處返回到x軸上，求加在電容器兩極板間的電壓．
（2）將兩極板間的電壓增大到原來(lái)的4倍，先在P處釋放第一個(gè)電子，在這個(gè)電子剛到達(dá)O點(diǎn)時(shí)釋放第二個(gè)電子，
求①第一個(gè)電子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比
�、诘谝粋�(gè)電子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，第二個(gè)電子的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）電子先經(jīng)電場(chǎng)加速，后進(jìn)入磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)．根據(jù)動(dòng)能定理列式，得到電壓與電子獲得的速度關(guān)系式；根據(jù)幾何知識(shí)得知電子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 r=

R

2

．由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求得速度，聯(lián)立即可求得電壓U．
（2）①根據(jù)上題的結(jié)果，得到將兩極板間的電壓增大到原來(lái)的4倍后電子在磁場(chǎng)中的半徑．電子在電場(chǎng)中加速時(shí)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合得到時(shí)間；在磁場(chǎng)中，根據(jù)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，求解時(shí)間，再求解時(shí)間之比；
②根據(jù)第一個(gè)電子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，得到第二個(gè)電子的圓心角，由幾何知識(shí)求解其位置坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)加速電壓為U，電子經(jīng)電場(chǎng)加速后速度為v，由動(dòng)能定理得：
 eU=

1

2

mv2
又在磁場(chǎng)中，根據(jù)牛頓第二定律有：evB=m

v2

r

由題意得：r=

R

2

聯(lián)立以上各式解得：U=

eB2R2

8m

                          
（2）①電壓增加為原來(lái)4倍，則有電子在磁場(chǎng)中的半徑r′=2r=R
設(shè)電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，加速度為a，則有
電容器極板間的場(chǎng)強(qiáng)  E=

4U

d

設(shè)間距為d，有：
eE=ma，
d=

1

2

a

t

2 1

   
解得：t₁=

πm

6eB

設(shè)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為t₂．
電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期  T=

2πm

eB

，
根據(jù)幾何知識(shí)得知，電子在磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，故有 t₂=

1

6

T                 
解得：t₂=

πm

3eB

即  t₂=2t₁．
則得：t₁：t₂=1：2．
②由此可知：第一個(gè)電子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，第二個(gè)電子的圓心角為30°，如圖中的Q點(diǎn)：
 Q_x=R-Rcos30°=

2- 3

2

R，Q_y=Rsin30°=

1

2

R        
因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

2- 3

2

R，

1

2

R）
答：（1）加在電容器兩極板間的電壓為

eB2R2

8m

．
（2）①第一個(gè)電子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為1：2．
�、诘谝粋�(gè)電子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，第二個(gè)電子的位置坐標(biāo)為（

2- 3

2

R，

1

2

R）．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，能根據(jù)半徑公式，周期公式結(jié)合幾何關(guān)系求解．