Question

（2011?兗州市三模）如圖1所示，兩金屬板間接有如圖2所示的隨時(shí)間t變化的電壓U，兩板間電場(chǎng)可看作是均勻的，且兩板外無(wú)電場(chǎng)，極板長(zhǎng)L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里，現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)中，已知每個(gè)粒子的速度υ₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視作是恒定不變的．

（1）試求兩板間加上多大電壓時(shí)才能使帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)；
（2）試求帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)獲得的最大速度；
（3）證明任意時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和出磁場(chǎng)時(shí)在MN上的出射點(diǎn)間的距離為定值：
（4）從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又射出磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，水平方向?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)，豎直方向?yàn)槌跛俣葹榱愕膭蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
（2）帶電粒子從平行板邊緣射出時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，獲得的動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，粒子速度向上偏轉(zhuǎn)或向下偏轉(zhuǎn)，畫出可能的兩種軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到軌道半徑，通過(guò)幾何關(guān)系得到向上偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式進(jìn)行分析；
（4）粒子從上邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，粒子從下邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，根據(jù)周期公式求解．

解答：解：（1）設(shè)兩板間電壓為U₁時(shí)，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)，
則有

d

2

=

1

2

at2=

1

2

×

U1q

dm

(

L

υ0

)2
代入數(shù)據(jù)，解得：U₁=100V
即兩板間加上100V電壓時(shí)才能使帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)．
（2）粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)，速度最大，設(shè)最大速度為υ₁
則有：

1

2

mυ12=

1

2

mυ02+q?

U1

2

解得：υ1=

2

×105m/s=1.414×105m/s
帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)獲得的最大速度為1.414×10⁵m/s．
（3）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其可能的兩種軌跡如圖；

設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與OO'夾角為α，
則速度大小υ=

v0

cosα

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=

mυ

qB

=

mυ0

qBcosα

粒子從磁場(chǎng)中飛出的位置與進(jìn)入磁場(chǎng)的位置之間的距離s=2Rcosα=

2mυ0

qB

代入數(shù)據(jù)，解得s=0.4m，s與α無(wú)關(guān)，
即射出電場(chǎng)的任何一個(gè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間距離恒為定值．
（4）粒子飛出電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
粒子飛入電場(chǎng)時(shí)的速度方向與OO'的最大夾角為α，
cosα=

υ0

υ1

=

2

2

，α=45°
當(dāng)粒子從下板邊緣飛出電場(chǎng)再進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，
tmax=

3T

4

=

3πm

2qB

=3π×10^-6s=9.42×10^-6s
當(dāng)粒子從上板邊緣飛出電場(chǎng)再進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短
tmin=

T

4

=

πm

2qB

=π×10-6s=3.14×10-6s
故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為9.42×10^-6s，最短時(shí)間為3.14×10^-6s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是畫出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的各種可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑和周期，然后求出磁偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式，并得出回旋角度的范圍，從而得到磁偏轉(zhuǎn)的范圍和運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范圍．