Question

（2012?綿陽模擬）如圖所示，兩根足夠長、電阻不計、間距為d的光滑平行金屬導軌，其所在平面與水平面夾角為θ，導軌平面內的矩形區(qū)域abcd內存在有界勻強磁場，磁感應強度大小b方向垂直于斜面向上，ab與cd之間相距為L₀金屬桿甲、乙的阻值相同，質量均為m，甲桿在磁場區(qū)域的上邊界ab處，乙桿在甲桿上方與甲相距L處，甲、乙兩桿都與導軌垂直．靜止釋放兩桿的同時，在甲桿上施加一個垂直于桿平行于導軌的外力F，使甲桿在有磁場的矩形區(qū)域內向下做勻加速直線運動，加速度大小a=2gsinθ甲離開磁場時撤去F，乙桿進入磁場后恰好做勻速運動，然后離開磁場．
（1 ）求每根金屬桿的電阻R是多大？
（2 ）從釋放金屬桿開始計時，求外力F隨時間t的變化關系式？并說明F的方向．
（3 ）若整個過程中，乙金屬桿共產生熱量Q，求外力F對甲金屬桿做的功W是多少？

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律求出乙桿開始做勻加速直線運動的加速度，從而得出乙桿進入磁場時的速度，抓住乙桿進入磁場后恰好做勻速運動，結合閉合電路歐姆定律，運用共點力平衡求出電阻R的大�。�
（2）根據甲桿做勻加速直線運動，結合牛頓第二定律、閉合電路歐姆定律以及切割產生的感應電動勢公式，求出F隨時間t的關系．
（3）甲在磁場中運動過程中，乙沒有進入磁場，根據能量守恒定律求出甲穿過磁場區(qū)域，外力做功與產生熱量的關系，乙在磁場中運動過程中，甲乙產生相同的熱量，根據能量守恒求出乙通過磁場區(qū)域產生的熱量，結合兩個關系，求出外力做的功．

解答：解：（1）設甲在磁場區(qū)域abcd內運動時間為t₁，乙從開始運動到ab位置的時間為t₂，則
L=

1

2

?2gsinθt12，L=

1

2

?gsinθt22

t1=

L gsinθ

，t2=

2L gsinθ

t₁＜t₂，即甲離開磁場時，乙還沒有進入磁場．
設乙進入磁場時的速度為v₁，乙中的感應電動勢為E₁，回路中的電流為I₁，則
v1=

2gLsinθ

E₁=Bdv₁
I₁=

E1

2R

mgsinθ=BI₁d
解得R=

B2d2

2m

2L gsinθ

．
（2）從釋放金屬桿開始計時，設經過時間t，甲的速度為v，甲中的感應電動勢為E，回路中的電流為I，外力為F，則
v=at
E=Bdv
I=

E

2R

F+mgsinθ-BId=ma
a=2gsinθ
解得F=mgsinθ+mgsinθ

2gsinθ L

?t （0≤t≤

L gsinθ

）
方向垂直于桿平行于導軌向下．
（3）甲在磁場中運動過程中，乙沒有進入磁場，設甲離開磁場時速度為v₀，乙沿導軌運動的距離是x，甲、乙產生的熱量相同，設分別為Q₁，則
v02=2aL．
W+mgLsinθ=2Q1+

1

2

mv02
解得W=2Q₁+mgLsinθ
乙在磁場中運動過程中，甲乙產生相同的熱量，設分別為Q₂，則
2Q₂=mgLsinθ
根據題意有Q=Q₁+Q₂
解得 W=2Q．
答：（1）每根金屬桿的電阻R=

B2d2

2m

2L gsinθ

．
（2）外力F隨時間t的變化關系為F=mgsinθ+mgsinθ

2gsinθ L

?t （0≤t≤

L gsinθ

），方向垂直于桿平行于導軌向下．
（3）外力F對甲金屬桿做的功W是2Q．

點評：解決本題的關鍵理清兩桿在整個過程中的運動情況，結合牛頓第二定律、切割產生的感應電動勢大小公式、閉合電路歐姆定律以及能量守恒定律進行求解．