Question

如圖所示，半徑分別為R和r的甲、乙兩個光滑的圓形軌道置于同一豎直平面上（R＞r），兩圓形軌道之間用一條水平粗糙軌道CD連接，軌道CD與甲乙兩個圓形軌道相切于C、D兩點．現(xiàn)有一小球以一定的速度先滑上甲軌道，繞行一圈后通過軌道CD再滑上乙軌道，繞行一圈后離開乙軌道．已知小球在甲軌道最高點處對軌道的壓力等于球的重力，在乙軌道運(yùn)動時恰好能過最高點．小球與軌道CD間的動摩擦系數(shù)為μ，求
（1）小球過甲、乙軌道的最高點時的速度V₁、V₂ 
（2）水平CD段的長度L．

Answer 1

分析：小球在甲軌道和乙軌道上做圓周運(yùn)動，對小球運(yùn)動到最高點進(jìn)行受力分析．
知道小球在乙軌道運(yùn)動時恰好能過最高點的臨界條件．
運(yùn)用牛頓第二定律列出合力提供向心力的表達(dá)式，求出最高點的速度．
再運(yùn)用動能定理研究小球從甲軌道最高點運(yùn)動到乙軌道最高點的過程，求解L．

解答：解：（1）設(shè)小球質(zhì)量為m，當(dāng)小球在甲軌道最高點時對軌道的壓力等于球的重力，
由牛頓第二定律得：
N+mg=m

V 2 1

R

V₁=

2gR

 
當(dāng)小球在乙軌道最高點時恰好能過最高點，由牛頓第二定律得：
mg=m

V 2 2

r

        V₂=

gr

     
（2）小球從甲軌道最高點運(yùn)動到乙軌道最高點的過程中，
由動能定理得：
mg（2R-2r）-fL=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²
滑動摩擦力f=μN(yùn)=μmg
∴L=

6R-3r

2μ

答：（1）小球過甲、乙軌道的最高點時的速度分別是

2gR

，

gr

．
（2）水平CD段的長度L是

6R-3r

2μ

．

點評：對于圓周運(yùn)動問題分析要注重受力分析后，找出向心力的來源并能列出相應(yīng)的等式求解問題．
我們要清楚圓周運(yùn)動里一些臨界狀態(tài)的語言表達(dá)，并知道其中的含義．