Question

在一種新的“子母球”表演中，讓同一豎直線上的小球A和小球B，從距水平地面高度為ph（p＞1）和h的地方同時由靜止釋放，如題9圖所示．球A的質(zhì)量為m，球B的質(zhì)量為3m．設(shè)所有碰撞都是彈性碰撞，重力加速度大小為g，忽略球的直徑、空氣阻力及碰撞時間．
（1）求球B第一次落地時球A的速度大��；
（2）若球B在第一次上升過程中就能與球A相碰，求p的取值范圍；
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到達(dá)比其釋放點更高的位置，求p應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）A、B均做自由落體運動，求出B球的下降時間，便可得到A球的速度
（2）要想在上升階段兩球相碰，臨界情況是B剛好反跳回到出發(fā)點時與A相碰，據(jù)此求出A球的最大高度
（3）要使球A第一次碰后能到達(dá)比其釋放點更高的位置，臨界情況是A與B碰后，A球速度恰好等大反向，由彈性碰撞過程動量守恒可求得碰前v_B=3v_A，

解答：解：（1）AB 兩球均做自由落體，在B落地過程中運動完全一致，設(shè)速度為v₀，由運動學(xué)公式得：

v

2 0

=2gh
故，

v

0

=

2gh

（2）要想在B上升階段兩球相碰，臨界情況是B剛好反跳到出發(fā)點時與A相碰，兩物體的v-t圖象如右圖；
陰影部分面積之和就是A的下落高度和B的反跳高度之和ph，故有ph=5h，故p=5
（3）要使球A第一次碰后能到達(dá)比其釋放點更高的位置，則臨界條件是碰后A球速度恰好等大反向，兩物體的v-t圖象如下圖，由彈性碰撞可得碰撞前后，動量守恒，規(guī)定向上為正方向，設(shè)碰后B球繼續(xù)向上運動，則：
3mv_B-mv_A=3mv′_B+mv_A
由于是彈性碰撞，由碰撞前后能量守恒得：

1

2

×3

mv

2 B

+

1

2

×mv

2 A

=

1

2

×3

mv′

2 B

+

1

2

mv

2 A

解得：

v

2 B

=

v′

2 B

故必有v′_B=-v_B
聯(lián)立以上可得：
v_A=3v_B

從圖象可以看出陰影部分面積之和就是A的下落高度和B的反跳高度之和，故ph=3h，故p=3
答：（1）B第一次落地時球A的速度為

2gh

（2）若球B在第一次上升過程中就能與球A相碰，則1＜p＜5
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到達(dá)比其釋放點更高的位置，求p應(yīng)滿足1＜p＜3

點評：抓住碰撞前后動量守恒、能量守恒，巧妙利用圖象，增強直觀性，本題難度較大，對學(xué)生的思維有挑戰(zhàn)