Question

如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xoy中，在第二象限內(nèi)有豎直放置的兩平行金屬板，其中右板開有小孔；在第一象限內(nèi)存在內(nèi)、外半徑分別為

3

3

R、R的半圓形區(qū)域，其圓心與小孔的連線與x軸平行，該區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里：在y＜0區(qū)域內(nèi)有電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向與x軸負(fù)方向的夾角為60°．一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子（不計(jì)重力），從左金屬板由靜止開始經(jīng)過加速后，進(jìn)入第一象限的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．求
（1）若兩金屬板間的電壓為U，粒子離開金屬板進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度是多少：
（2）若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛好不能進(jìn)入

3

3

R的中心區(qū)域，此情形下粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小．
（3）在（2）情形下，粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)＜0的區(qū)域，它第一次在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中被直線加速，則由動(dòng)能定理可求出加速后的速度大��；
（2）粒子在磁場(chǎng)中在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何知識(shí)，可確定運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑及夾角．從而再由半徑公式可算出剛好不能進(jìn)入

3

3

R的中心區(qū)域，此情形下粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大�。�
（3）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)恰好沿著電場(chǎng)線作勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)電場(chǎng)力結(jié)合牛頓第二定律可算出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則它第一次在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即為來回的時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)當(dāng)加速電壓為U時(shí)，粒子離開金屬板時(shí)的速度為v₁，
則有：qU=

1

2

m

v

2 1

解得：v1=

2qU m

                 
（2）此情形下粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)速度為v₂，運(yùn)動(dòng)圓半徑為r，
由幾何知識(shí)得：r2+R2=(r+

3

3

R)2
              tanθ=

R

r

解得：r=

3

3

R，θ=60°                      
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：Bqv2=m

v 2 2

r

解得：v2=

3 BqR

3m

                  
（3）粒子進(jìn)入y＜0的區(qū)域，做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度減少到零所用時(shí)間為t，
則：qE=ma
    v₂-at=0
解得：t=

3 BR

3E

                                        
粒子第一次在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
T=2t=

2 3 BR

3E

答：（1）若兩金屬板間的電壓為U，粒子離開金屬板進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度是

2qU m

；
（2）若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛好不能進(jìn)入

3

3

R的中心區(qū)域，此情形下粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小為

3 BRq

3m

．
（3）在（2）情形下，粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)＜0的區(qū)域，它第一次在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

2 3 BR

3E

．

點(diǎn)評(píng)：考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、向心力公式，注意巧用幾何知識(shí)，當(dāng)心運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑與圓形磁場(chǎng)的半徑不能混淆，同時(shí)關(guān)注粒子在電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的來回時(shí)間．