Question

如圖所示，物體B和物體C用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接并豎直地靜置于水平地面上．將一個(gè)物體A從物體B的正上方距離B的高度為H₀處由靜止釋放，下落后與物體B碰撞，碰撞后A與B粘合在一起并立刻向下運(yùn)動(dòng)，在以后的運(yùn)動(dòng)中A、B不再分離．已知物體A、B、C的質(zhì)量均為M，重力加速度為g，忽略空氣阻力．
（1）求A與B碰撞后瞬間的速度大小．
（2）A和B一起運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大速度時(shí)，物體C對(duì)水平地面的壓力為多大？
（3）開始時(shí)，物體A從距B多大的高度自由落下時(shí)，在以后的運(yùn)動(dòng)中才能使物體C恰好離開地面？

Answer 1

（1）設(shè)物體A碰前速度為v₁，對(duì)物體A從H₀高度處自由下落，
由機(jī)械能守恒定律得：MgH₀=

1

2

Mv₁²，解得：v₁=

2gH0

．
設(shè)A、B碰撞后共同速度為v₂，則由動(dòng)量守恒定律得：
Mv₁=2Mv₂，v₂=

gH0 2

．
（2）當(dāng)A、B達(dá)到最大速度時(shí)，A、B所受合外力為零，設(shè)此時(shí)彈力為F，對(duì)A、B由平衡條件得，F(xiàn)=2Mg．
設(shè)地面對(duì)C的支持力為N，對(duì)ABC整體，因加速度為零，所以N=3Mg．
由牛頓第三定律得C對(duì)地面的壓力大小為N′=3Mg．
（3）設(shè)物體A從距B的高度H處自由落下，根據(jù)（1）的結(jié)果，
A、B碰撞后共同速度v₂=

gH 2

．
當(dāng)C剛好離開地面時(shí)，由胡克定律得彈簧伸長(zhǎng)量為X=

Mg

k

．
根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)A、B一起上升到彈簧伸長(zhǎng)為X時(shí)彈簧的勢(shì)能與A、B碰撞后瞬間的勢(shì)能相等．
則對(duì)A、B一起運(yùn)動(dòng)到C剛好離開地面的過程中，由機(jī)械能守恒得：

1

2

×2Mv₂²=4MgX，
聯(lián)立以上方程解得：H=

8Mg

k

．
答：（1）A與B碰撞后瞬間的速度大小為

2gH0

．
（2）A和B一起運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大速度時(shí)，物體C對(duì)水平地面的壓力為3Mg．
（3）開始時(shí)，物體A從距B

8Mg

k

的高度自由落下時(shí)，在以后的運(yùn)動(dòng)中才能使物體C恰好離開地面．