Question

【題目】一質(zhì)量為，傾角為的斜面放置在光滑水平面上，另一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓柱體沿斜面無(wú)滑動(dòng)滾下，如圖所示

（1）建立斜面和圓柱體的動(dòng)力學(xué)方程，并指出圓柱體作純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件

（2）確定此力學(xué)系統(tǒng)的守匣量，并給出具體的表達(dá)式

（3）求解斜面的加速度，以及圓柱體質(zhì)心相對(duì)于斜面的加速度

Answer 1

【答案】(1) 即,圓柱體作純滾動(dòng)的條件為 (2) (3) 解得斜面加速度和圓柱體質(zhì)心的相對(duì)加速度分別為,

【解析】

選擇地面為定參考系，動(dòng)參考系在斜面上，如圖所示．設(shè)斜面有向右的加速度，圓柱體質(zhì)心有相對(duì)于斜面的加速度（設(shè)其方向沿斜面向下），以圓柱體質(zhì)心為動(dòng)點(diǎn)，斜面為動(dòng)系，由加速度合成定理，而，故有．于是，得到，．

對(duì)斜面應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有

． ①

對(duì)圓柱體質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為

，

．

考慮到，．于是，有

， ②

． ③

設(shè)圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為（設(shè)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)，根據(jù)動(dòng)量矩定理，有

，即． ④

圓柱體作純滾動(dòng)的條件為． ⑤

（2）設(shè)斜面有向右的速度，圓柱體質(zhì)心相對(duì)于斜面有向下的速度，如圖所示，根據(jù)速度合成定理，有，而，故有．于是，得到，．

以斜面和圓柱體組成系統(tǒng)，該系統(tǒng)水平方向上不受外力，由系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒，可得

．

兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并考慮到，，即得

． ⑥

（3）聯(lián)立式①～⑥，解得斜面加速度和圓柱體質(zhì)心的相對(duì)加速度分別為

，