Question

質(zhì)量為m的小球固定在光滑輕細(xì)桿的上端，細(xì)桿通過光滑限位孔保持豎直．在光滑水平面上放置一質(zhì)量為M=2m的凹形槽，凹形槽的光滑內(nèi)表面如圖所示，AB部分是斜面，與水平面成θ=30°，BCD部分是半徑為R的圓弧面，AB與BCD兩面在B處相切．讓細(xì)桿的下端與凹形槽口的左邊緣A點(diǎn)接觸．現(xiàn)將小球釋放，求：
（1）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到凹形槽的最低點(diǎn)C時(shí)，凹形槽的速度是多大．
（2）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到B點(diǎn)的瞬間，小球和凹形槽的速度各是多大．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)輕細(xì)桿的下端運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，小球的速度為零．以小球和凹形槽組成的系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出凹形槽的速度．
（2）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到B點(diǎn)的瞬間，取極短時(shí)間△t，認(rèn)為小球和凹形槽都做勻速運(yùn)動(dòng)，由△t時(shí)間內(nèi)位移關(guān)系得到小球的速度v₁與凹形槽的速度v₂之間的關(guān)系，再由系統(tǒng)機(jī)械能守恒求出兩個(gè)物體的速度．

解答：解：
（1）當(dāng)輕細(xì)桿的下端運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，小球的速度為零，小球減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為凹形槽的動(dòng)能，由能量轉(zhuǎn)化守恒定律mgR=

1

2

M

v

2

又 M=2m   
得凹形槽的速度：v =

gR

（2）當(dāng)輕細(xì)桿的下端從A點(diǎn)相對滑動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，取極短時(shí)間△t，認(rèn)為小球和凹形槽都做勻速運(yùn)動(dòng)，由△t時(shí)間內(nèi)位移關(guān)系得到v₁△t=v₂△ttanθ
小球的速度v₁與凹形槽的速度v₂之間的關(guān)系如圖所示：
得：v₁=v₂tanθ
由系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化守恒定律mgRcosθ=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

又M=2m
解得：v1=

3 gR 7

，v2=

3 3 gR 7

答；
（1）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到凹形槽的最低點(diǎn)C時(shí)，凹形槽的速度是v =

gR

．
（2）當(dāng)輕細(xì)桿的下端滑到B點(diǎn)的瞬間，小球和凹 形槽的速度各是v1=

3 gR 7

，v2=

3 3 gR 7

．

點(diǎn)評：本題難點(diǎn)在于分析小球的速度與凹形槽的速度的關(guān)系，關(guān)鍵從位移關(guān)系理解速度關(guān)系．