Question

一豎直平面內(nèi)的軌道由粗糙斜面 AB、光滑圓弧軌道 BC、粗糙水平直道CD組成（如圖a所示：其中AB與BC相切于B點(diǎn)，C為圓軌道的最低點(diǎn)，且為BC圓弧與CD相切點(diǎn)）．將小球置于軌道ABC上離地面高為 H處由靜止下滑，用力傳感器測出其經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力N，改變H的大小，可測出相應(yīng)的 N 大小，N 隨H的變化關(guān)系如圖b折線 EFG所示（EF與FG兩直線相連接于F點(diǎn)），F(xiàn)G反向延長交縱軸于一點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，5.8N），重力加速度g取 10m/s²，求：
（1）圓弧軌道的半徑及軌道BC 所對(duì)圓心角（可用角度的三角函數(shù)值表示）
（2）小球與斜面AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)?

Answer 1

分析：（1）若物塊只在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得到物塊滑到C處的速度與高度H的關(guān)系．物塊經(jīng)過C處時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律列出N與速度的關(guān)系，聯(lián)立得到N與H的解析式，結(jié)合圖線求出半徑和圓心角．
（2）如果物塊由斜面上滑下，由動(dòng)能定理得到速度的表達(dá)式，再研究C點(diǎn)的向心力，聯(lián)立得到N與H的表達(dá)式，用同樣的方法求出動(dòng)摩擦因數(shù)．

解答：解：（1）如果物塊只在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，則由動(dòng)能定理  mgH=

1

2

mv2
得  v=

2gH

由向心力公式得  N-mg=m

v2

R

得：N=mg+m

v2

R

=

2mg

R

H+mg
結(jié)合EF圖線得：mg=5，則m=0.5kg．
            

2mg

R

=10得  R=1m　　　　　
由數(shù)學(xué)知識(shí)得  cosθ=

R-H

R

=

1-0.2

1

=0.8，則θ=37°
（2）如果物塊由斜面上滑下，由動(dòng)能定理：
mgH-μmgcosθ（H-0.2）?

1

sinθ

=

1

2

mv2，得mv2=2mgH-

8

3

μmg(H-0.2)
由向心力公式得
N-mg=m

v2

R

得：N=mg+m

v2

R

=

2mg- 8 3 μmg

R

H+

1.6

3

μmg+mg
結(jié)合圖線FG的斜率得

2mg- 8 3 μmg

R

=6，得 μ=0.3     
答：
（1）圓弧軌道的半徑是1m，軌道BC所對(duì)圓心角是37°．
（2）小球與斜面AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.3．

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到N與H的解析式，再結(jié)合圖線的數(shù)學(xué)意義，求解軌道半徑等，是常用的數(shù)形結(jié)合的方法．