Question

如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.9m、質(zhì)量為m=1kg的木板Q放在粗糙的水平面上，Q的上表面和兩個(gè)半徑為R=0.2m的

1

4

光滑圓弧軌道底端相切，已知兩圓弧最底端之間的距離為d=1.0m．質(zhì)量也為m=1kg的小滑塊P從左側(cè)圓弧最高點(diǎn)（和圓心A、B等高）以豎直向下的初速度v₀=

5

m/s開始下滑，小滑塊恰不能沖出右側(cè)的圓弧，在此過(guò)程中小滑塊P和木板Q未共速，Q到右（左）圓弧底端與右（左）壁相碰后便停止運(yùn)動(dòng)不反彈，重力加速度為g=10m/s²，求：
（1）P、Q之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）此過(guò)程中水平面對(duì)Q的摩擦力所做的功；
（3）P最終停止位置到右圓弧底端的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理分別求出P在左圓弧最底端的速度和右圓弧最底端的速度，對(duì)P在Q上滑動(dòng)運(yùn)用動(dòng)能定理求出P、Q之間的動(dòng)摩擦因數(shù)．
（2）P在Q上向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，Q向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出Q與地面的摩擦力，從而求出摩擦力對(duì)Q所做的功．
（3）求出P從左圓弧最底端運(yùn)動(dòng)到右圓弧最底端動(dòng)能的減小量，分析出小滑塊從右圓弧最底端不能到達(dá)左圓弧最底端．再結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出PQ達(dá)到共同速度所需的時(shí)間和速度，判斷出Q的位移大于0.1m，不能達(dá)到共同速度，Q向左運(yùn)動(dòng)0.1m與左壁碰撞而停止運(yùn)動(dòng)，結(jié)合速度位移公式求出P的位移，從而確定出P最終停止位置到右圓弧底端的距離．

解答：解：設(shè)Q與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，P、Q間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂
（1）設(shè)P到左圓弧最底端的速度為v₁，對(duì)P從開始運(yùn)動(dòng)到左圓弧最底端應(yīng)用動(dòng)能定理有：

1

2

mv12-

1

2

mv02=mgR
解得v₁=3m/s．
設(shè)P到右圓弧最底端的速度為v₂，因?yàn)镻滑上右圓弧軌道恰能滑到最高點(diǎn)，在此過(guò)程中，對(duì)P應(yīng)用動(dòng)能定理有：
0-

1

2

mv22=-mgR
P在Q上滑動(dòng)，對(duì)P應(yīng)用動(dòng)能定理有：

1

2

mv22-

1

2

mv12=-μ2mgd
聯(lián)立解得v₂=2m/s，μ₂=0.25．
（2）P在Q上向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，P的加速度大小為a₁=μ₂g，方向向左
Q向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a2=

μ2mg-μ1(m+m)g

m

=μ2g-2μ1g，方向向右．
設(shè)P在Q上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知，
t1=

v2-v1

-a1

=0.4s．
對(duì)Q有d-L=

1

2

a2t12，水平面對(duì)Q的摩擦力做功為W_f=-μ₁（2m）g（d-L）
聯(lián)立解得：a2=1.25m/s2，μ₁=0.0625，W_f=-0.125J．
（3）P第一次從左圓弧最底端到右圓弧最底端受到的作用力不變，根據(jù)動(dòng)能定理可知，動(dòng)能減小量△E_k=μ₂mgd=2.5J．
假設(shè)P能從右圓弧最底端到左圓弧最底端，到底端時(shí)的動(dòng)能為

1

2

mv32=

1

2

mv22-△Ek＜0．
說(shuō)明小滑塊從右圓弧最底端不能到達(dá)左圓弧最底端．
假設(shè)P、Q可達(dá)到共同速度v₃，需時(shí)間t，則有：v₃=v₂-a₁t=a₂t．
解得v3=

2

3

m/s，t=

8

15

s．
在此過(guò)程中Q的運(yùn)動(dòng)位移x1=

v32

2a2

=

8

45

m＞0.1m，說(shuō)明P、Q不可能達(dá)到共同速度，Q向左運(yùn)動(dòng)0.1m與左壁碰撞而停止運(yùn)動(dòng)，P向左運(yùn)動(dòng)位移x2=

v22

2a1

=0.8m停止運(yùn)動(dòng)，P最終停止位置到右圓弧底端的距離為0.8m．
答：（1）P、Q之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25．
（2）此過(guò)程中水平面對(duì)Q的摩擦力所做的功為-0.125J．
（3）P最終停止位置到右圓弧底端的距離為0.8m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清P、Q的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．