Question

如圖所示，兩條光滑的絕緣導(dǎo)軌，導(dǎo)軌的水平部分與傾斜部分平滑連接．兩導(dǎo)軌間距為L=0.5m．導(dǎo)軌的傾斜部分與水平面成θ=53⁰角．其中有一段勻強磁場區(qū)域abcd，磁場方向垂直于斜面向上．導(dǎo)軌的水平部分有n段相同的勻強磁場區(qū)域．磁場方向豎直向上，所有磁場的磁感虛強度大小均為B=1T．磁場沿導(dǎo)軌的長度均為L=0.5m．磁場左、右兩側(cè)邊界均與導(dǎo)軌垂直．導(dǎo)軌的水平部分中相鄰磁場區(qū)域的間距也為L．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=0.5kg，電阻為r=0.125Ω，邊長也為L的正方形金屬框PQMN，從傾斜導(dǎo)軌上由靜止釋放，釋放時MN邊離水平導(dǎo)軌的高度h=2.4m，金屬框滑進磁場abcd時恰好作勻速運動，此后，金屬框從導(dǎo)軌的傾斜部分滑上水平部分并最終停停止．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）金屬框剛釋放時MN邊與ab的距離s；
（2）金屬框能穿過導(dǎo)軌的水平部分中幾段磁場區(qū)域；
（3）整個過程中金屬框內(nèi)產(chǎn)生的電熱．

Answer 1

（1）設(shè)金屬線框剛進入磁場區(qū)域abcd的速度為v₁，則線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv₁
安培力F=BIL=

B2L2v1

r

依題意金屬框滑進磁場abcd時恰好作勻速運動，有：F=mgsinθ
線框下滑距離s的過程中，根據(jù)動能定理，有：mgssinθ=

1

2

mv₁²
聯(lián)立以上各式解得：s=

m2r2

2B4L4

gsinθ=0.25m
（2）設(shè)金屬線框剛?cè)�部進入水平導(dǎo)軌時速度為v₂，線框在傾斜軌道上運動的全過程中，根據(jù)動能定理，有：
mg（h+

1

2

Lsinθ-2Lsinθ）=

1

2

mv²
解得：v₂=6m/s
線框進入水平導(dǎo)軌的磁場中后由于受到安培力作用而減速直至速度減為零，線框在穿越任一磁場區(qū)域的過程中，根據(jù)動量定理，有：B

.

I

Lt=m△v，即BLq=m△v
又q=

△φ

r

=

2BL2

r

所以，線框在穿越每一磁場區(qū)域速度的減少量相同，且△v=

2B2L3

mr

線框在水平導(dǎo)軌上穿越磁場區(qū)域的個數(shù)
n=

v2-0

△v

=

mrv2

2B2L3

=1.5
金屬框能穿越導(dǎo)軌水平部分中1個完整的磁場區(qū)域．
（3）整個過程中，根據(jù)能量守恒定律，有：
金屬線框內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q=mg（h+

1

2

Lsinθ）=13J．

答：（1）金屬線框剛釋放時MN邊與ab的距離S是0.25m
（2）整個過程中金屬線框內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱是13 J．
（3）金屬線框能穿越導(dǎo)軌水平部分中1個完整的磁場區(qū)域．