Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，第I象限存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第IV象限內(nèi)存在垂直于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m的電子（電量為e，不計(jì)重力），從y軸正半軸上y=h處的M點(diǎn)，以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上x(chóng)=x=υ0t=

2

3

3

h處的P點(diǎn)進(jìn)入第IV象限的磁場(chǎng)后經(jīng)過(guò)y軸的Q點(diǎn)，已知 OQ=OP．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E；
（2）求粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)速度大小和方向；
（3）求B的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移和豎直位移均已知，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法可求出場(chǎng)強(qiáng)大小E．
（2）由速度的合成法求出電子進(jìn)入第IV象限磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和方向，由幾何知識(shí)確定粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的方向．電子在磁場(chǎng)中速度的大小不變．
（3）由幾何知識(shí)分別求出電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，由半徑公式即可求出B．由左手定則判斷B的方向．

解答：解：（1）電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
  x=υ0t=

2

3

3

h
  h=

1

2

at2
根據(jù)牛頓第二定律得：eE=ma
聯(lián)立解得：E=

3mυ02

2eh

（2）畫(huà)出電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，設(shè)粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)速度大小為v，則
  υy=at=

3

υ0
  υ=

υ 2 0 + υ 2 y

=2υ0
  tanθ=

υy

υ0

=

3

得：θ=60°    
∠OPO₁=30°
又OQ=OP
由幾何關(guān)系得：∠OQO₁=∠OPO₁=30°，故粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)速度方向與y軸正方向成60°．  
（3）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑為r，則由幾何關(guān)系得：
rcos30°+rsin30°=op=

2

3

3

h
則得，r=(2-

2

3

3

)h
由牛頓第二定律得：eυB=m

υ2

r

解得：B=

(3+ 3 )mυ0

2eh

根據(jù)左手定則判斷可知，磁場(chǎng)B的方向方向垂直紙面向里．
答：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E為

3m v 2 0

2eh

；
（2）粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)速度大小為2v₀，粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)速度方向與y軸正方向成60°；
（3）B的大小為

(3+ 3 )mv0

2eh

，方向垂直紙面向里．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，畫(huà)出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求出電子的軌跡半徑是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要抓住幾個(gè)過(guò)程之間的聯(lián)系，比如速度關(guān)系、位移關(guān)系等．