Question

某種加速器的理想模型如圖1所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開有一小孔a、b，兩極板間電壓u_ab的變化圖象如圖2所示，電壓的最大值為U、周期為T，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．若將一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從板內(nèi)a孔處?kù)o止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間T后恰能再次從a 孔進(jìn)入電場(chǎng)加速．現(xiàn)該粒子的質(zhì)量增加了．（粒子在兩極板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不計(jì)，兩極板外無(wú)電場(chǎng)，不考慮粒子所受的重力）
（1）若在t=0時(shí)刻將該粒子從板內(nèi)a孔處?kù)o止釋放，求其第二次加速后從b孔射出時(shí)的動(dòng)能；
（2）現(xiàn)在利用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁場(chǎng)中時(shí)管內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)，忽略其對(duì)管外磁場(chǎng)的影響），使圖1中實(shí)線軌跡（圓心為O）上運(yùn)動(dòng)的粒子從a孔正下方相距L處的c孔水平射出，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡圖上的相應(yīng)位置處畫出磁屏蔽管；
（3）若將電壓u_ab的頻率提高為原來(lái)的2倍，該粒子應(yīng)何時(shí)由板內(nèi)a孔處?kù)o止開始加速，才能經(jīng)多次加速后獲得最大動(dòng)能？最大動(dòng)能是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）求第二次加速后從b孔射出時(shí)的動(dòng)能只需知道加速時(shí)所對(duì)應(yīng)的電壓，故圖2求電壓即可．
（2）加入屏蔽管后粒子在屏蔽管中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，離開屏蔽管后運(yùn)動(dòng)軌跡與原來(lái)的運(yùn)動(dòng)軌跡相似，只是向下平移了l．
（3）從圖象可以看出，時(shí)間每改變（圖象中為1），電壓改變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzwl/web/STSource/20131029193040973247247/SYS201310291930409732472018_DA/1.png">（圖象中為4），
所以圖象中電壓分別為50，46，42，38，…10，6，2，共13個(gè)，
設(shè)某時(shí)刻t，u=U時(shí)被加速，此時(shí)刻可表示為，靜止開始加速的時(shí)刻t₁為，其中n=12，將n=12代入得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzwl/web/STSource/20131029193040973247247/SYS201310291930409732472018_DA/5.png">，在u＞0時(shí)，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)：N=，
所以只能取N=25，解得，由于電壓的周期為，所以（n=0，1，2，3…）
故粒子由靜止開始被加速的時(shí)刻（n=0，1，2，…）
故加速時(shí)的電壓分別，，…，，，
加速電壓做的總功，即動(dòng)能的最大值，故粒子的最大動(dòng)能 
解得 ．
解答：解：（1）質(zhì)量為m的粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)Bqv=，
則
當(dāng)粒子的質(zhì)量增加了m，其周期增加△T=T
根據(jù)題圖2可知，粒子第一次的加速電壓u₁=U
經(jīng)過(guò)第二次加速，第2次加速電壓u₂，如圖2
在三角形中，，
所以粒子第二次的加速電壓
粒子射出時(shí)的動(dòng)能 E_k2=qu₁+qu₂
解得
（2）因?yàn)榇牌帘喂苁沽Ｗ觿蛩龠\(yùn)動(dòng)至以下L處，出管后仍然做圓周運(yùn)動(dòng)，可到C點(diǎn)水平射出．磁屏蔽管的位置如圖1所示．粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖3．
（3）如圖4（用Excel作圖）設(shè)T=100，U=50，得到在四分之一周期內(nèi)的電壓隨時(shí)間變化的圖象
從圖象可以看出，時(shí)間每改變（圖象中為1），電壓改變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzwl/web/STSource/20131029193040973247247/SYS201310291930409732472018_DA/29.png">（圖象中為4），
所以圖象中電壓分別為50，46，42，38，…10，6，2，共13個(gè)，
設(shè)某時(shí)刻t，u=U時(shí)被加速，此時(shí)刻可表示為，
靜止開始加速的時(shí)刻t₁為，其中n=12，將n=12代入得，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzwl/web/STSource/20131029193040973247247/SYS201310291930409732472018_DA/33.png">，在u＞0時(shí)，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)：N=，得N=25．
所以只能取N=25，解得，由于電壓的周期為，所以（n=0，1，2，3…）
故粒子由靜止開始被加速的時(shí)刻（n=0，1，2，…）
故加速時(shí)的電壓分別，，…，，，
加速電壓做的總功，即動(dòng)能的最大值，故粒子的最大動(dòng)能 
解得 ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)和在電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)以及用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力．關(guān)鍵是判斷怎樣才能得到最大動(dòng)能即何時(shí)加速，加速電壓多大．