Question

【題目】如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線，一端懸于O點(diǎn)，另一端連接一質(zhì)量為m的小球，在O點(diǎn)正下方釘一個(gè)釘子O’�，F(xiàn)將細(xì)線向右水平拉直后從靜止釋放，細(xì)線碰到釘子后要使小球剛好繞釘子O’在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。（重力加速度為g）

（1）求小球剛到最低點(diǎn)時(shí)的速度；

（2）求OO’的長(zhǎng)度；

（3）若小球帶上負(fù)電，電量為q；在區(qū)域內(nèi)加一水平向右，的勻強(qiáng)電場(chǎng)。再次將細(xì)線向右拉直后從靜止釋放，細(xì)線碰到釘子后小球剛好能繞釘子O’在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)OO’的長(zhǎng)度。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）小球由水平位置到最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理：mgL=mv2，解得

（2）設(shè)小球剛好繞釘子O′在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)軌道半徑為r，則
在最高點(diǎn)有：mg =m

對(duì)于小球從開始運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的整個(gè)過程，由動(dòng)能定理得：

解得：，

則故OO′長(zhǎng)度為
（3）由于重力場(chǎng)和電場(chǎng)力做功都與路徑無關(guān)，因此可以把兩個(gè)場(chǎng)疊加起來看成一個(gè)等效力場(chǎng)來處理．重力和電場(chǎng)力的合力大小為

設(shè)此合力與水平方向的夾角為θ，則，得：θ=45°
在等效力場(chǎng)中，當(dāng)合力F的方向通過點(diǎn)O′時(shí)，小球恰好通過繞O′點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的“最高點(diǎn)”，設(shè)此點(diǎn)為Q，圓周的半徑為R，則在Q點(diǎn)應(yīng)滿足：
即有：

從開始到Q點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得：
mg[（L-2R）+R（1-sin45°）]+qE（L-Rcos45°）=mvQ2

又qE=mg；OO′=L-R
聯(lián)立以上可解得： OO′=