Question

如圖所示，線的上端固定，下端系一小球，將小球與線拉在同一水平位置后從靜止開始釋放，求:

小球的擺線運(yùn)動(dòng)到與水平方向成多大角度時(shí)，小球所受的重力的功率最大。（用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

試題分析： 設(shè)擺線長(zhǎng)為l，小球的擺線運(yùn)動(dòng)到與水平方向成θ角度時(shí)，小球所受的重力的功率最大，此時(shí)小球的速度為，由幾何關(guān)系知，重力mg與速度v的夾角等于θ，根據(jù)功率定義得：
由動(dòng)能定理得：
以上兩式聯(lián)立解得：
令，，因θ是銳角，所以，對(duì)求導(dǎo)得：
令得：或
由導(dǎo)數(shù)圖像得處取最大值。
所以當(dāng)時(shí)，球所受的重力的功率最大
另解：設(shè)擺線長(zhǎng)為l，小球的擺線運(yùn)動(dòng)到與水平方向成θ角度時(shí)，小球所受的重力的功率最大，此時(shí)小球的速度為，豎直分速度為，根據(jù)功率定義得：
由動(dòng)能定理得：
根據(jù)牛頓第二定律得：
沿水平方向和豎直方向進(jìn)行正交分解，當(dāng)時(shí)，豎直方向速度有最大值，小球所受的重力的功率有最大值。
以上各式聯(lián)立解得：　　　
故小球的擺線運(yùn)動(dòng)到與水平方向成角度時(shí)，小球所受的重力的功率最大。