Question

如圖，光滑管形圓軌道半徑為R（兩物體位移之差保持不變，管徑遠(yuǎn)小于R），小球a、b大小相同，質(zhì)量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當(dāng)小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法錯誤的是（　�。�

• A、速度v至少為v=2

  gR

  ，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運動
• B、當(dāng)v=

  5gR

  時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力
• C、當(dāng)小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg
• D、只要v≥

  5gR

  ，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg

Answer 1

分析：題中兩球的質(zhì)量相同，相當(dāng)于同一個球．要使小球能通過最高點，只要小球的速度大于零即可；當(dāng)向心力等于重力時，小球?qū)�軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點時速度；再由機械能守恒可求得小球在最低點時的速度，由公式F=m

v2

R

得到小球在最低點時所需要的向心力，并能根據(jù)機械能守恒和牛頓運動定律求得最低點與最高點處壓力的差值．

解答：解：
A、因小球在管內(nèi)轉(zhuǎn)動時，在最高點時，由管道能支撐小球，內(nèi)管可對小球提供向上的支持力，與輕桿模型類似，故小球在最高點的最小速度為零．
設(shè)小球能做圓周運動，到達(dá)最低點時的最小速度為v．根據(jù)機械能守恒得：
  mg?2R=

1

2

mv2
得 v=2

gR

．故A正確；
B、當(dāng)小球?qū)�軌道無壓力時，由重力提供向心力，則有：mg=m

v 2 b

R

；解得：v_b=

gR

；即當(dāng)速度為v=

gR

時，小球在軌道最高點對軌道無壓力；
由機械能守恒定律可得，mg?2R=

1

2

mv_a²-

1

2

mv_b²；
得小球在最低點時的速度 v_a=

5gR

，故最低點速度v=

5gR

時，小球在最高點對軌道無壓力；故B正確；
C、在最高點無壓力時，向心力 F_b=mg；最低點時，向心力F_a=m

v 2 a

R

=5mg；即a球比b球所需向心力大4mg；故C錯誤；
D、當(dāng)v≥

5gR

時，在最高點時，管道對小球有向下的壓力，由F₁+mg=m

v 2 1

R

；解得 F₁=m

v 2 1

R

-mg；
最低點時，有 F₂-mg=m

v 2 2

R

；解得F₂=m

v 2 2

R

+mg；
  所以F₂-F₁=2mg+m

v 2 2

R

-m

v 2 1

R

；
由機械能守恒可得：mg?2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
則可得：F₂-F₁=6mg；
根據(jù)牛頓第三定律得：只要能做完整的圓周運動，壓力之差都等于6mg；故D正確；
本題選錯誤的，故選：C

點評：小球在豎直面內(nèi)的圓周運動，要區(qū)分繩子類型與輕桿類型，本題相當(dāng)于輕桿模型．若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時，小球才能通過；而用桿或在管內(nèi)運動的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點．