Question

如圖所示，兩根足夠長的平行金屬導軌由傾斜和水平兩部分平滑連接組成，導軌間距L=1m，傾角θ=45°，水平部分處于磁感應強度B=1T的勻強磁場中，磁場方向豎直向上，磁場左邊界MN與導軌垂直．金屬棒ab質量m₁=0.2kg，電阻R₁=1Ω，金屬棒cd質量m₂=0.2kg，電阻R₂=3Ω，導軌電阻不計，兩棒與導軌間動摩擦因數μ=0.2．開始時，棒ab放在斜導軌上，與水平導軌高度差h=1m，棒cd放在水平軌上，距MN距離為s₀．兩棒均與導軌垂直，現將ab棒由靜止釋放，取g=10m/s²．求：

（1）棒ab運動到MN處的速度大小；
（2）棒cd運動的最大加速度；
（3）若導軌水平部分光滑，要使兩棒不相碰，棒cd距離MN的最小距離s₀．

Answer 1

分析：（1）金屬棒下降的過程中，重力與摩擦力做功的和等于動能的增加．
（2）運用法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，求出安培力，再使用牛頓第二定律求出加速度；
（3）運用動量守恒定律求出棒cd距離MN的最小距離時它們的共同速度，運用動量定理求出速度的變化量．根據能量守恒定律，求出產生的焦耳熱．

解答：解：（1）對ab運用動能定理得
m1gh-μm1gcos45°?

h

sin45°

=

1

2

m1

v

2 0

代人數據得：v0=

2gh-2μgh

=

2×10×1-2×0.2×10×1

m/s=4m/s
（2）棒ab運動到MN處，cd加速度最大
E_m=BLv₀
  Im=

Em

R1+R2

∴Fm=BImL=

B2L2v0

R1+R2

=

12×12×4

1+3

N=1N
由牛頓第二定律：F_m-μm₂g=m₂a
解得：a=3m/s²
（3）在不相碰的情況下，兩棒最終速度必相等，設為v_m，ab、cd組成的系統(tǒng)在水平方向任一時刻ab棒與cd棒受到的安培力總是大小相等，方向相反，故系統(tǒng)的水平方向的動量守恒，得：
    mv₀=2mv_m
即：vm=

v0

2

=2m/s
設某時刻ab的速度為v₁，cd的速度為v₂，在極小的△t內，ab速度變化為△v
則：ΦE=

△Φ

△t

=BL(v1-v2)
   I=

E

R1+R2

由牛頓運動定律有F1=m1

△v

△t

=

B2L2(v1-v2)

R1+R2

得v1-v2=

(R1+R2)m1

B2L2

?

△v

△t

兩棒在水平導軌運動的相對位移，即為兩棒不相碰的最小距離，
  S0=∑(v1-v2)△t=

(R1+R2)m1

B2L2

∑△v=

(R1+R2)m1

B2L2

?(v0-

1

2

v0)=

(R1+R2)m1v0

2B2L2

聯立以上各公式，代人數據求得：s₀=1.6m
答：（1）棒ab運動到MN處的速度大小是4m/s；
（2）棒cd運動的最大加速度3m/s²；
（3）棒cd距離MN的最小距離是1.6m

點評：該題考查了多個知識點的綜合運用．做這類問題我們還是應該從運動過程和受力分析入手研究，運用一些物理規(guī)律求解問題．
能量的轉化與守恒的應用非常廣泛，我們應該首先考慮．