Question

（2006?廣東）如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一上、下兩層均與水平面平行的“U”型光滑金屬導(dǎo)軌，在導(dǎo)軌面上各放一根完全相同的質(zhì)量為m的勻質(zhì)金屬桿A₁和A₂，開(kāi)始時(shí)兩根金屬桿位于同一豎起面內(nèi)且桿與軌道垂直．設(shè)兩導(dǎo)軌面相距為H，導(dǎo)軌寬為L(zhǎng)，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)，金屬桿單位長(zhǎng)度的電阻為r．現(xiàn)有一質(zhì)量為

m

2

的不帶電小球以水平向右的速度v₀撞擊桿A₁的中點(diǎn)，撞擊后小球反彈落到下層面上的C點(diǎn)．C點(diǎn)與桿A₂初始位置相距為S．求：
（1）回路內(nèi)感應(yīng)電流的最大值；
（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中感應(yīng)電流最多產(chǎn)生了多少熱量；
（3）當(dāng)桿A₂與桿A₁的速度比為1：3時(shí)，A₂受到的安培力大小．

Answer 1

分析：金屬桿A₁、A₂兩桿在同一個(gè)金屬U形導(dǎo)軌上都做變速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向相同（都向右），同一時(shí)刻兩桿都切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在空間中的方向相同（都向外），但兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在回路中的方向相反，所以總電動(dòng)勢(shì)是這兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)之差，即E=BL（v₁-v₂），電流是I=

BL(v1-v2)

R

，方向?yàn)榻饘贄UA₁中感應(yīng)電流的方向，因?yàn)锳₁比A₂產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大，安培力是F=

B2L2(v1-v2)

R

，方向都和速度方向相反（都向左）．
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律解決問(wèn)題．

解答：解：設(shè)撞擊后小球反彈的速度為v₁，金屬桿A1的速度為v₀₁，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，

1

2

mv₀=

1

2

m（-v₁）+mv₀₁，①
 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分解，有
 　s=v₁t，H=

1

2

gt²
 　由以上2式解得v₁=s

g 2H

       ②
 �、诖�入①得v₀₁=

1

2

（v₀+s

g 2H

）      ③
 　回路內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為E_m=BLv₀₁，電阻為R=2Lr，
所以回路內(nèi)感應(yīng)電流的最大值為I_m=

B(v0+s g 2H )

4r

．        ④
 （2）因?yàn)樵诎才嗔Φ淖饔孟拢�金屬桿A₁做減速運(yùn)動(dòng)，金屬桿A₂做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩桿速度大小相等時(shí)，回路內(nèi)感應(yīng)電流為0，根據(jù)能量守恒定律，

1

2

mv₀₁²=Q+

1

2

?2mv²    ⑤
其中v是兩桿速度大小相等時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，
mv₀₁=2mv，所以v=

1

2

v₀₁，代入⑤式得
Q=

1

16

m（v₀+s

g 2H

）²    ⑥
（3）設(shè)金屬桿A₁、A₂速度大小分別為v₁、v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，
mv₀₁=mv1+mv₂，又

v1

v2

=

3

1

，所以
v₁=

3

4

v₀₁，v₂=

1

4

v₀₁．
金屬桿A₁、A₂速度方向都向右，根據(jù)右手定則判斷A₁、A₂產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在回路中方向相反，
所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BL（v₁-v₂），電流為I=

E

2Lr

，安培力為F=BIL，
所以A₂受到的安培力大小為F=

B2L

8r

（v₀+s

g 2H

）．
當(dāng)然A₁受到的安培力大小也如此，只不過(guò)方向相反．
 答案：（1）回路內(nèi)感應(yīng)電流的最大值為

B(v0+s g 2H )

4r

；
（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中感應(yīng)電流最多產(chǎn)生熱量為

1

16

m（v₀+s

g 2H

）²；
（3）當(dāng)桿A₂與桿A₁的速度比為1：3時(shí)，A₂受到的安培力大小為

B2L

8r

（v0+s

g 2H

）．

點(diǎn)評(píng)：注重金屬桿A₁、A₂兩桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，清楚同一時(shí)刻兩桿都切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)，根據(jù)兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在回路中的方向會(huì)求出電路中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．