Question

空間存在垂直于紙面方向的均勻磁場其方向隨時間作周期性變化，磁感應強度B隨時間t變化的圖線如圖（甲）所示．規(guī)定B＞0時，磁場方向垂直紙面向外．現(xiàn)在磁場區(qū)域中建立一與磁場方向垂直的平面直角坐標系xoy，如圖（乙）所示．一電量q=5π×10^-7C質量m=5×10^-10kg的帶正電粒子，位于原點O處，在t=0時刻以初速度v₀=πm/s沿x軸正方向開始運動，不計重力作用，不計磁場變化可能產(chǎn)生的一切其他影響．試求：

（1）帶電粒子的運動半徑；
（2）帶電粒子從O點運動到P（4，4）點的最短時間；
（3）要使帶電粒子過圖中的P點，則磁場的變化周期T為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可求出粒子運動軌跡的半徑．
（2）由帶電粒子在勻強磁場中的周期公式T=

2πm

qB

可求出粒子的運動周期，通過題意找出磁場的變化周期和粒子的運動周期的關系，結合幾何圖形，可求出粒子到達P點的最短時間．
（3）結合第二問的分析，考慮到帶電粒子從O到P運動中可完成的周期的重復性，列式求解即可．

解答：解：
（1）設粒子運動半徑為R，則有
qvB=m

v2

R

 
得：R=

mv

qB

=0.01m
（2）設點電粒子的運動周期為T_粒，則：
T粒=

2πm

qB

=0.02s
 若磁場的變化周期T的

1

2

恰好為帶電粒子運動周期T_粒的

1

4

，即它的軌跡為4個

1

4

圓相連接，它的運動軌跡如圖所示，此種情況帶點粒子從O點運動到P點所用的時間最短，設為t，則：
t=T_粒=0.02s
（3）要使帶電粒子經(jīng)過P點，則磁場變化的周期T和帶電粒子在磁場中的運動周期T_粒之間應滿足的關系為：

T

2

=(n+

1

4

)T粒 
即：T=0.04×（n+

1

4

）s          n=0，1，2，3…
答：（1）帶電粒子的運動半徑為0.01m；
（2）帶電粒子從O點運動到P（4，4）點的最短時間為0.02s
（3）要使帶電粒子過圖中的P點，則磁場的變化周期T為0.04×（n+

1

4

）s   n=0，1，2，3…

點評：該題考察了帶電粒子在方向隨時間作周期性變化的磁場中運動的問題，此題不但要求學生要熟練的應用帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的軌道半徑公式和周期公式，還要求要有較強的對物體運動的分析能力，該題關鍵是找出磁場變化的周期和粒子圓周運動的周期的關系．正確的繪制出粒子的軌跡圖，對解決問題有非常大的幫助．