Question

2013年12月2日1時30分我國成功發(fā)射“嫦娥三號”，于12月14日21時11分在月球正面的虹灣以東地區(qū)著陸．12月15日凌晨，“嫦娥三號”搭載的“玉兔”號月球探測器成功與“嫦娥三號”進行器件分離，我國航天器首次實現(xiàn)在地外天體的軟著陸，表明中國航天技術(shù)獲得了重大進展．
某同學(xué)提出設(shè)想：“玉兔”號月球車登陸月球后，利用月球車附屬機械裝置進行科學(xué)實驗，讓單擺在月球表面做小幅度振動，測出單擺擺長為L，單擺振動周期為T（已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G，可認(rèn)為此月球表面的物體受到的重力等于物體與月球之間的萬有引力），則可求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的質(zhì)量M；
（3）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析：（1）單擺在月球表面做小幅度振動時，其周期公式為T=2π

L g

，g是月球表面的重力加速度．由此公式變形即可求得g．
（2）物體在月球表面時，萬有引力等于重力，列式即可求得月球的質(zhì)量．
（3）根據(jù)重力提供向心力，可計算月球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）根據(jù)單擺周期公式T=2π

L g

解得：g=

4π2L

T2

（2）在月球表面，物體受到的重力等于物體與月球間的萬有引力，設(shè)物體的質(zhì)量為m₀，
有G

Mm0

R2

=m0g
解得：M=

gR2

G

=

4π2R2L

GT2

（3）設(shè)月球的第一宇宙速度為v，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m
根據(jù)重力提供向心力m

v2

R

=mg
解得：v=

gR

=

2π

T

RL

答：（1）月球表面的重力加速度g為

4π2L

T2

；
（2）月球的質(zhì)量M為

4π2R2L

GT2

；
（3）月球的第一宇宙速度v為

2π

T

RL

．

點評：本題是單擺周期公式和萬有引力的綜合應(yīng)用，它們之間聯(lián)系的紐帶是重力加速度g，是一道好題．