Question

【題目】靜止在水平面上的小車(chē)固定在剛性水平輕桿的一端，桿的另一端通過(guò)小圓環(huán)套在豎直光滑的立柱上。每當(dāng)小車(chē)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，車(chē)上的彈簧槍就會(huì)沿垂直于輕桿的水平方向自動(dòng)發(fā)射一粒彈丸，然后自動(dòng)壓縮彈簧并裝好一粒彈丸等待下次發(fā)射,直至射出所有彈丸。下圖為該裝置的俯視圖。已知未裝彈丸的小車(chē)質(zhì)量為M，每粒彈丸的質(zhì)量為m，每次發(fā)射彈丸釋放的彈性勢(shì)能為E，發(fā)射過(guò)程時(shí)間極短；小車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向相反、大小為小車(chē)對(duì)地面壓力λ倍的作用力；忽略所有摩擦阻力，重力加速度為g。

（1）若小車(chē)上只裝一粒彈丸，求彈丸被射出時(shí)小車(chē)的速度大�。�

（2）若（1）問(wèn)中發(fā)射彈丸后小車(chē)恰能運(yùn)動(dòng)一周，求射出彈丸時(shí)，桿對(duì)小車(chē)的拉力大小；

（3）若小車(chē)上共裝15粒彈丸，輕桿能承受的最大拉力（L為小車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑），則須滿足什么條件輕桿才不會(huì)被拉斷？小車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)的總路程的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）4πMg（3），

【解析】

（1）發(fā)射彈丸的過(guò)程，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒mv=MV，

能量守恒：E=

聯(lián)立解得：

（2）發(fā)射彈丸后，小車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑為 L，

由動(dòng)能定理得：，

其中x=2πL

彈丸剛被射出時(shí)桿受到的拉力

解得：F=4πMg

（3）某次發(fā)射后，小車(chē)（連同彈簧槍）和車(chē)載彈丸的總質(zhì)量為Mk=km（k從某一較大值開(kāi)始減小，可取15個(gè)值，且k>15）

與上述同理可知：

由此可知，彈丸全部射完，k取最小值M/m時(shí)，桿的拉力最大，

若此時(shí)還能滿足

則桿不會(huì)被拉斷，解得

與上述同理可知，某次發(fā)射后到下一次發(fā)射前小車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)的路程：

由此式可知，每發(fā)射一粒彈丸后，小車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)的路程增大一些，因此要小車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)的總路程最大，k應(yīng)該取最小的15個(gè)值（對(duì)應(yīng)將15粒彈丸全部射出），

即應(yīng)取 取k=29、28、……、15，

最大總路程為=