Question

如圖甲所示，兩平行金屬板A、B的板長L＝0.2m，板間距d＝0.2m，兩金屬板間加如圖乙所示的交變電壓，并在兩板間形成交變的勻強電場，忽略其邊緣效應。在金屬板右側(cè)有一方向垂直于紙面向里的勻強磁場，其左右寬度D＝0.4m，上下范圍足夠大，邊界MN和PQ均與金屬板垂直，勻強磁場的磁感應強度B＝1×10^－2 T．現(xiàn)從t＝0開始，從兩極板左側(cè)的中點O處以每秒鐘1000個的數(shù)量均勻連續(xù)地釋放出某種正電荷粒子，這些粒子均以v₀＝2×10⁵ m/s的速度沿兩板間的中線OO′連續(xù)進入電場，已知帶電粒子的比荷＝1×10⁸C/kg，粒子的重力和粒子間的相互作用都忽略不計，在粒子通過電場區(qū)域的極短時間內(nèi)極板間的電壓可以看作不變．求：

(1)t＝0時刻進入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場和射出磁場時兩點間的距離；
(2)在0～1s內(nèi)有多少個帶電粒子能進入磁場；
(3)何時由O點進入的帶電粒子在磁場中運動的時間最長？

Answer 1

（1）0.4m（2）（3）t＝4n+0.6（s）或t＝4n+1.4（s） （n＝0，1，2……）

（18分，每問6分）
解：（1）t＝0時刻，電壓為0，粒子勻速通過兩板進入磁場，
                      （2分)
                  （2分)
r<D，則粒子在MN邊界射出磁場。
入射點和出射點的距離為s＝2r＝0.4m        （2分)
（2）粒子在兩板間做類平拋運動，剛好打到板最右端時，
L＝v₀t₁                             （3分)
U₀＝400V                                      （1分)
則0～1s內(nèi)能夠進入磁場的粒子個數(shù)為   （2分)
（3）假設兩板加電壓為U時，粒子向下偏轉(zhuǎn)并進入磁場，剛好與磁場PQ邊界相切，
在磁場中，
由幾何關(guān)系得，R+Rsinθ＝D                             （2分)
在電場中，
聯(lián)立解得：θ＝37⁰

U＝300V                                             （2分)
U<U₀＝400V，則當兩板電壓U＝300V，且粒子向下偏轉(zhuǎn)時，粒子在磁場中運動的時間最長，對應入射的時刻為
t＝4n+0.6（s）或t＝4n+1.4（s） （n＝0，1，2……）           （2分)
本題考查的是帶電粒子在電場和磁場中運動的情況，由于t=0時刻粒子勻速直線通過電場，垂直邊界進入磁場，在磁場中作勻速圓周運動，做半周運動射出磁場，只需計算出圓周運動的半徑，即可；粒子在兩板間做類平拋運動，剛好打到板最右端時，能進入磁場，根據(jù)這個條件算出能進入磁場的粒子個數(shù)；根據(jù)洛倫茲力的方向可知向下偏轉(zhuǎn)時粒子進入磁場的運動時間最長，根據(jù)幾何關(guān)系可以得到粒子運動時間最長時兩板的電壓，從而的到粒子入射時刻。