Question

我國(guó)“嫦娥一號(hào)”月球探測(cè)器在繞月球成功運(yùn)行之后，為進(jìn)一步探測(cè)月球的詳細(xì)情況，又發(fā)射了一顆繞月球表面飛行的科學(xué)試驗(yàn)衛(wèi)星．假設(shè)衛(wèi)星繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，月球繞地球也作圓周運(yùn)動(dòng)，且軌道都在同一平面內(nèi)．己知衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)周期T₀，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R₀，月心與地心間的距離為r_om，引力常量G，試求：
（1）月球的平均密度ρ
（2）月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T．

Answer 1

分析：1、抓住繞月表面飛行的衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力

Gmm′

R 2 m

=m′

4π2

T 2 0

Rm可計(jì)算月球的質(zhì)量，再根據(jù)密度的定義式可計(jì)算月球的密度．
2、抓住地球表面重力與萬(wàn)有引力相等

GMm表

R 2 0

=m表g和月球受到地球的萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力

GMm

r 2 om

=m

4π2

T2

rom可計(jì)算月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期．

解答：解：（1）設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，對(duì)于繞月球表面飛行的衛(wèi)星，由萬(wàn)有引力提供向心力

Gmm′

R 2 m

=m′

4π2

T 2 0

Rm
得   m=

4π2 R 3 m

G T 2 0

又據(jù)   ρ=

m

4 3 π R 3 m

得   ρ=

3π

G T 2 0

（2）月球的球心繞地球的球心運(yùn)動(dòng)的周期為T．
地球的質(zhì)量為M，對(duì)于在地球表面的物體m_表
有    

GMm表

R 2 0

=m表g
即    GM=

R

2 0

g
月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)自地球引力
即    

GMm

r 2 om

=m

4π2

T2

rom
得T=

2πr0m

R0

?

rom g

答：（1）月球的平均密度ρ為

3π

G T 2 0

．
（2）月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T為

2πr0m

R0

?

rom g

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要掌握天體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)問題：1、萬(wàn)有引力提供向心力，2、星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力．掌握好這兩個(gè)關(guān)系可以解決所以天體問題．