Question

如圖所示，無限長金屬導(dǎo)軌EF、PQ固定在傾角為θ=30°的光滑絕緣斜面上，軌道間距L=1m，底部接入一阻值為R=0.4Ω的定值電阻，上端開口．垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T．一質(zhì)量為m=0.8kg的金屬棒ab與導(dǎo)軌接觸良好，ab與導(dǎo)軌間沒有摩擦，ab連入導(dǎo)軌間的電阻r=0.1Ω，電路中其余電阻不計(jì)．現(xiàn)用一質(zhì)量為M=2kg的物體通過一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩繞過光滑的定滑輪與ab相連．由靜止釋放M，不計(jì)空氣阻力，當(dāng)M下落高度h=2.0m時(shí)，ab開始勻速運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)中ab始終垂直導(dǎo)軌，并接觸良好，g=10m/s²）．求：
（1）ab棒沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大速度；
（2）ab棒從開始運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（3）ab棒從開始運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)流過電阻R的總電量．

Answer 1

分析：（1）由靜止釋放M，ab棒先向上做加速運(yùn)動(dòng)，隨著速度增大，產(chǎn)生的感應(yīng)電流增大，所受的安培力增大，加速度減小，當(dāng)加速度為零時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度就達(dá)到最大值．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，結(jié)合平衡條件求解最大速度．
（2）在ab棒從開始運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，系統(tǒng)的重力勢能減小，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)增加的動(dòng)能和焦耳熱，根據(jù)能量守恒求出總的焦耳熱，再由焦耳定律求電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式求解電量．

解答：解：（1）如圖所示，在ab棒做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于速度v的增加，安培力F變大，ab棒在做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a=0時(shí)，
ab棒速度最大的為v_m，則：
Mg=mgsinθ+F                
又F=BIL=BL

BLvm

R+r

=

B2L2vm

R+r

               
聯(lián)立以上各式得：v_m=

(Mg-mgsinθ)(R+r)

B2L2

=

(20-8×sin30°)×(0.4+0.1)

22×12

=2m/s                      
（2）由系統(tǒng)的總能量守恒可知，系統(tǒng)減小的重力勢能等于系統(tǒng)增加的動(dòng)能、焦耳熱之和，則有：
Mgh-mghsinθ=

1

2

（m+M）v_m²+Q          
解得：Q=Mgh-mghsinθ-

1

2

（m+M）v_m²=20×2-8×2×sin30°-

1

2

×（2+0.8）×2²=26.4J，
由于R與r串聯(lián)，電流相等，則根據(jù)焦耳定律得，電阻R上產(chǎn)生的熱量：Q_R=

R

R+r

Q=

0.4

0.4+0.1

×26.4J=21.12J                            
（3）因?yàn)榱鬟^電路的電量q=

.

I

△t，

.

I

=

. E

R+r

，E=

△φ

△t

得：q=

△φ

R+r

=

BLh

R+r

=

2×1×2

0.4+0.1

=8.0C              
答：（1）ab棒沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大速度為2m/s；
（2）ab棒從開始運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為21.12J；
（3）ab棒從開始運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)流過電阻R的總電量為8.0C．

點(diǎn)評：本題有兩個(gè)關(guān)鍵：一是推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系；二是推導(dǎo)感應(yīng)電荷量q的表達(dá)式，對于它們的結(jié)果要理解記牢，有助于分析和處理電磁感應(yīng)的問題．