Question

如圖，ABCDE是由三部分絕緣光滑軌道平滑連接在一起組成的，AB為水平軌道，弧BCD是半徑為R的半圓弧軌道，O為其圓心．半徑為2R的圓弧軌道DE與弧BCD相切在軌道最高點D處，E、C、O三點位于同一高度，R=1m．整個裝置處在水平向右的勻強電場之中，電場強度E=10⁶N/C．靜止在A點處質量m=0.4kg，電量q=3×10^-6 C的帶正電小球在電場力的作用下開始沿軌道運動，小球恰能始終貼著圓弧軌道BCDE的內側通過其最高點D后，從E點飛出．（g取10m/s²）求：
（1）小球通過B點時的速度及對軌道的作用力N；
（2）AB的距離d=？

Answer 1

分析：（1）先分別求出小球所受的重力和電場力，得到它們的合力F_合大小和方向．當F_合方向恰好通過圓心O時，設此時小球的位置為Q點，當小球通過Q點的瞬間與軌道間的彈力為0，根據(jù)牛頓第二定律列式求出小球通過Q點的速度．從B到Q，運用動能定理列式求出小球通過B點時的速度，再由牛頓第二定律、第三定律求解小球對軌道的作用力．
（2）從A到B，運用動能定理求解d．

解答：解：（1）小球所受的電場力F=qE=3×10^-6 C×10⁶N/C=3N．
重力G=mg=0.4×10N=4N．故二力的合力大小為F_合=5N
方向與豎直方向成37°斜向下．
當F_合方向恰好通過圓心O時，設此時小球的位置為Q點，如圖所示．
據(jù)題意，小球過Q點瞬間與軌道之間的彈力為0，由牛頓第二定律得
   F=m

v 2 Q

2R

解得，v_Q=5

R

從B到Q，由動能定理得：-mg?2Rcos37°-qE?2Rsin37°=

1

2

m

v

2 Q

-

1

2

mv

2 B

解得，v_B=5

5

R
過B點瞬間，據(jù)牛頓第二定律得：N′-mg=m

v 2 B

R

解得，N′=34N
所以根據(jù)牛頓第三定律得，小球對軌道的作用力N=N′=34N，方向豎直向下．
（2）從A到B，運用動能定理得 qEd=

1

2

m

v

2 B

解得，d=5R
答：（1）小球通過B點時的速度是5

5

R，對軌道的作用力N是34N，方向豎直向下．；
（2）AB的距離d=5R．

點評：本題關鍵是將重力和電場力合成后當作一種全新的場力，然后左側等效場的最高點，根據(jù)動能定理和牛頓第二定律靈活列式求解．