Question

一根長L=80cm的繩子系著一個小球，小球在豎直平面內做圓周運動，已知球的質量為m=0.5kg，g取10m/s²，求：
（1）試確定到達最高點時向心力的最小值
（2）當小球在最高點時的速度為3m/s，繩對小球的拉力
（3）試證明：在能夠完成豎直平面內做圓周運動的情況下，無論小球的初速度怎樣，在最低點和最高點時繩子上的張力差總為30N．（不計空氣阻力）

Answer 1

分析：（1）當重力恰好提供向心力時，向心力最小．
（2）根據拉力和重力的合力提供向心力列式求解．
（3）設最高點速度為v₁，根據動能定理求解最低點速度v₂，然后根據重力和拉力的合力提供向心力列式后聯立求解．

解答：解：（1）小球在最高點受重力和拉力，合力提供向心力，當拉力為零時，向心力最小，為mg=5N；
（2）當小球在最高點時的速度為3m/s時，拉力和重力的合力提供向心力，有：
F+mg=m

v2

R

解得：F═m

v2

R

-mg=0.625N；
（3）設最高點速度為v₁，最低點速度v₂，根據動能定理，有：
mg?2R=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

；
最高點，有：mg+T₁=m

v 2 1

R

；
最低點，有：T₂-mg=m

v 2 2

R

；
拉力差為：△T=T₁-T₂；
聯立解得：△T=6mg=30N；
答：（1）到達最高點時向心力的最小值為5N；
（2）當小球在最高點時的速度為3m/s，繩對小球的拉力為0.625N；
（3）證明如上．

點評：對于豎直平面內的圓周運動，只考慮最高點和最低點情況；
本題關鍵明確向心力來源，根據牛頓第二定律和機械能守恒定律后分析討論，不難．