Question

如圖，水平地面上方有一底部帶有小孔的絕緣彈性豎直檔板，板高h(yuǎn)=9m，與板等高處有一水平放置的籃筐，筐口的中心離擋板s=3m．板的左側(cè)以及板上端與筐口的連線上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T；質(zhì)量m=1×10^-3kg、電量q=-1×10^-3C、直徑略小于小孔寬度的帶電小球（視為質(zhì)點(diǎn)），以某一速度水平射入場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若與檔板相碰就以原速率彈回，且碰撞時(shí)間不計(jì)，碰撞時(shí)電量不變，小球最后都能從筐口的中心處落入筐中，g=10m/s²，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的最大速率；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故電場(chǎng)力與重力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）洛倫茲力提供向心力，故半徑越大，速度越大，當(dāng)小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運(yùn)動(dòng)半徑最大，根據(jù)幾何關(guān)系求解出半徑，然后求解最大速度；
（3）要求最長時(shí)間，需求最大圓心角，畫出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系得到半徑的可能值，然后求解最長時(shí)間．

解答：解：（1）因小球能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以有：Eq=mg
解得：E=

mg

q

=10N/C
方向豎直向下
（2）洛侖茲力提供向心力有：qvB=m

v 2

R

且 T=

2πR

v

得：T=2π≈6.28s

小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運(yùn)動(dòng)半徑最大，如圖1所示，由幾何知識(shí)可得：
(h-Rm)2+s2=Rm2
求得：R_m=5m    
vm=

BqR1

m

=5m/s
（3）因?yàn)樗俣确较蚺c半徑方向垂直，圓心必在檔板的豎直線上  
R≥s=3m
設(shè)小球與檔板碰撞n次，其最大半徑為

h

2n

要擊中目標(biāo)必有：

h

2n

≥3，

9

2n

≥3，解得：n≤1.5，故n只能取0，1…
當(dāng)n=0，即為（2）問中的解
當(dāng)n=1，時(shí)可得：
（h-3R）²+s²=R²
（9-3R）²+3²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
R₂=3.75m時(shí)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2中的軌跡①所示，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，有：
t=

1

2

T+

3

4

T+

37°

360°

T=

5

4

T+

37

360

T=(

5

4

+

37

360

)×

2πm

qB

=(

5

4

+

37

360

)×

2π×0.001

0.001×1

=≈8.45 s
（3）因?yàn)樗俣确较蚺c半徑方向垂直，圓心必在檔板的豎直線上  R≥s=3m
設(shè)小球與檔板碰撞n次[h-（2n+1）R]²+s²=R²
代入得：2n（n+1）R²-9（2n+1）R+45=0
使R有解必須有△≥0，代入得：4n²+4n-9≤0，可得：-2.07≤n≤1.07
n只能取0，1  （以下同上）
（3）要求最小速度，需求最小半徑，由幾何關(guān)系得：（nR-h）²+s²=R²或（h-nR）²+s²=R²
整理得：（n-1）R²-18nR+90=0
此方程R有解，則有：（-18n）²-4×（n²-1）×90≥0
得 n≤

10

所以：n=1或n=3（n為奇數(shù)）
（以下同上）
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為10N/C，方向?yàn)樨Q直向下；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的最大速率為5m/s；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為8.45 s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找到向心力來源，畫出軌跡，然后根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑，再聯(lián)立方程組求解．